18.
Espaces fonctionnels
129
dérivées· sur [a, +oo[, donc la dérivabilité de f sur ]a, +oo[, 'Va > 0, donc
sur ]O, +oo[ avec
soit f'(x) = - 1
1 x pour x >O.
+e
Comme f est continue en 0, et que lim / 1 ( x) = - 2
1 , f est dérivable en 0
x-+O+
avec / 1 (0) = ~·
1
x
dt
On a f(x) - f(O) =
- 1 --t, se calcule avec s =et ds = sdt donc
o +e
r"' ds r"' (1 1 ) [ 8 Je"'
f(x)-f(O)= 11 s(l+s) = 11 s- l+s ds= Logl+s 1
ex
1
= ln - 1 - - - ln - 2 = x +ln 2 - ln (1 +ex).
+ex
+oo (-l)n
Or /(0) = L -n- = -ln 2, d'où finalement f(x) = x - ln (1 +ex),
n=l
fonction défi.nie sur R, et qui coïncide sur [O, +oo[ avec la somme de la série
donnée.
D'abord. la limite f est convexe car 'V(x, y) dans [a, b] 2 et t dans [O, l], fixé,
J(tx + (1 - t)y) = lim fn(tx + (1 - t)y) avec
n-++oo
fn(tx + (1 - t)y) ~ tfn(x) + (1 - t)fn(y), d'où, en passant à la limite,
(x et y fixés), f(tx + (1- t)y) ~ tf(x) + (1- t)f(y).
Pour une fonction f convexe sur [a, b] on sait que l'application p : x ....+
f(x)-f(c) est croissante sur [a,b]\{c}, ce qui entraîne l'existence de
x-c
f~(y), \:/y E]a, b[, de f~(x), ' inégalités :
1;(x) ~ "J~(x) ~ f(y) - f(x) ~ J;(y) ~ f~(y).
y-x
Puis f étant dérivable à gauche. sur ]a, b[ est continue à gauche sur cet
intervalle, elle est de même continue à droite sur ]a, b[ et finalement f est
continue sur ]a, b[.
Soit [a, /3] c]a, b[, pour tout x de [a, /3], comme a < a ~ x ~ /3 < bon a,
' fn(a) - fn(a) ~ (f )' ( ) ~ (f )' ( ) ~ fn(b) - fn(/3)
a-a
"' ngX"' ndX"'
b-/3
.