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Analyse fonctionnelle
d'où lln(l +x cost)I ~ lln(l +cost)I et a fortiori
lln(l +x cost)-ln(l +cost)I ~ 2lln(l +cost)I
Soit o: < i• on· a donc
lf(x). - f(l)I ~ 11r-a lln (1 + x cos t) - ln (1 +cos t)ldt
+ 2 L~Q 11n (1 +cos t)ldt
La convergence de 1tr lln (l+cos t)ldt, ( V7r - tlln (l+cos t)I --+ 0) donne:
Ve> 0, 3o: ( < i) tel que 2 L~a lln(l +cost)ldt ~ ~·donc \;/x E [O, l[,
lf(x) - f(l)I ~ ~ + 1tr-a lln (1 + x cost) - ln (1 + cost)ldt
mais pour (t, x) E [O, 7r - o:J x [0, 1] cette fois, (t, x) ~ ln (1 + x cos t) est
continue, (1 + x cos t ne s'annule plus), donc la fonction
x. ~ 1tr-a ln(l +. x cost)dt est continue et au même ê on associe
xo E [0, l[ tel que xo ~ x ~ 1 =>
1tr-a lln (1 + x cost) - ln (1 + cost)ldt ~ ~ d'où lf(x) - f(l)I ~ ê
six E [xo, 1] : on a bien f continue sur [-1, l].
Doncf(l)= 11r ln(l+cost)dt=-7rln2.
-nx
17. La série est alternée pour tout x réel. On a lun(x)I = _e -
qui tend vers
n
+oo six < 0, donc divergence de la série, et six ~ 0, lunl tend vers 0,
(lunl ~ ~) en décroissant car 1u:: 1 1 = n: 1 e-x < 1. Le domaine
de définition est donc [O, +oo[, de plus la convergence ayant lieu suivant le
critère des séries alternées, si Un ( x) est la somme partielle de rang n on
e-(n+l)x
1
a lf(x) - Un(x)I ~
1 ~ - - 1 sur [O, +oo[: il y a convergence
n+
n+
uniforme sur [O, +oo[ donc continuité de la somme.
Pour la dérivation, u~(x) = (-l)n+le-nx, donc six ~ a > 0 on a
llu~lloo = - 1 - = (_.!_)n, d'où la convergence normale de la série des
ena
ea