Espaces fonctionnels
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Calcul de f' (x) = 111" 1 cos t dt. On a f' (0) = [sin t] 0 = 0, et six# 0,
0
+xcost
on pose u =tg~· d'où 2du = (1 + u 2 )dt et
1-u 2
1
+00
2
- - 2 du
f'(x) =
_ _ . l+u
o
1 +u2
1-u2
l + x - 1 2
.
+u
1
+oo
(1 - u 2 )du
-2
-
0
(1 + u 2 )(1 + x + (1 - x)u2)
21+
00
(
1
1
)
= x 0
1 + u2 - (1 + x) + (1- x)u2 du
(on décompose en éléments simples), d'où, pour x non nul dans] - 1, 1[:
[ l
+oo
,
2
2
1-x
u
f (x) = -[ArctguJci
00 -
(l
) {l::;l Arctg /§
x
x -x V"ï+X
l+x
1-x 0
- ~ - 2 11' - ~ (1 - 1 )
-x x~2-x
~
(expression qui redonne !' (0) = 0 par continuité).
On a donc
f(x) = 11'
.!_ V 1 - t- - 1 dt= 11'
-t dt
.
1 x ( r;--;>; ) lx
0 t
v'f=t2
0 v'f=t2 ( v'f=t2 + 1)
Si on pose t = sin u, il vient
f
~u~uu
~uu
1
Arcsin x
.
d
1Arcsin x •
d
(x) = -11' 0
cosu(l + cosu) = -11' 0
1 + cosu
soit
A ·
1+~
f(x) = 'll'[Log (1 + cosu)]o rcsmx = 11' Log
2
sur] -1, 1[.
Il reste à justifier la continuité de f en 1, (et en -1, mais la parité donnera
le résultat).
Or pour 0 ~ X < 1 et t E rn:, 11']. (d'où cos t < 0) on a
ln (1 +COS t) ~ ln (1 +X COS t) ~ 0,