126
Analyse fonctionnelle
J 1
1 1
Sur B, lf(x)I +f2(x) + - ~ 2e, donc lfn(x) - lf(x)ll ~ - 2 · - alors
n
e n
que sur A, on a directement lf(x)I ~ e d'où J f2(x) + ~ ~ Je 2 +~et
lfn(x) - IJ(x)ll ~ e + Je 2 +~-On peut donc dire qu'a fortiori sur R,
1
R
lfn(x) - lf(x)ll ~ - 2 + e + e 2 + -
ne
n
et comme la majorant tend vers 2e sin tend vers +oo, 3no, 'Vn ~ no, on
ait
d'où finalement llfn -1(1 lloo ~ 3e pour tout n ~ no : il y a convergence
uniforme des f n vers 1 f .
16. Pour x = 0, f(O) = 0 existe, pour x =/:- 0, cost = -l est exclu si lxl < 1,
X
donc si x E] - 1, 1[, la fonction t ~ ln (1 + x cos t) est continue sur [O, 11"]
d'où l'existence de f(x).
Si V(x) est voisinage compact de x, inclus dans ] - 1, 1[, (pour lxl < 1)
la fonction (t, x) ~ f(t, x) = ln {1 + x cos t) est continue sur le compact
[0, 11"] x V(x), d'où f continue en x; mais :~ (t,x) existe aussi, est continue
sur [O, 11"] X V(x) d'où f dérivable en x E] - 1, 1[ avec
!'(x) = r cost dt.
) 0 l+xcost
Existence de J{l). On a 1 + cost > 0 sur [0,11"[, et si t tend vers 11" avec
11"-t = s, 1+cost=1-coss, mais ..;B ln {1-coss) tend vers 0 sis tend
vers 0 : l'intégrale impropre converge en 11".
Donc f{l) = 111: ln{l + cost)dt existe, ainsi que
f(-1) = 1
1 ln(l - cost)dt, (impropre en 0 et ../t ln(l -cost)--+ 0).
D'où f définie sur [-1, l].
Le changement de variable t ~ 11" - t = s, et x ~ -x donne
f(-x)= 111: ln(l-xcost)dt= 1°ln(l+xcoss)(-ds)
= 111: ln {1 + x coss)ds = f(x) donc f est paire.