13.
14.
Espaces fonctionnels
125
nex +xe-x
Soit fn(x) = (x 3 + 1)
= (x 3 + l)un(x) avec un(x) ,...., ex si
n+x
n tend vers +oo, donc il y a convergence simple de la suite des Un vers u :
x~u(x)=ex.
l
x(ex-e-x)I
2e
-
On a lu(x)-un(x)I =
~ - sur [O, l], donc llu-unlloo ~
n+x
n
2 e, comme la fonction x ~ x 3 + 1 est bornée sur [0, l], il y a convergence
n
uniforme des fn vers f: x ~ ex(x 3 +1) donc
La fonction fn définie par fn(x) =
2 n; 2 est continue sur [O, 1], nulle
l+n nx
.
2nx
2nx
en 0 donc hm fn(O) = 0, et pour x "1- 0, fn(x) = 1 2 2 ,...., - 2 2 =
x-+O
+n nx
n nx
_.!.._ : ceci tend vers 0, donc il y a convergence simple vers O. Dans l'équivalent,
nx
pour x = .! on trouve 1, ce qui fait subodorer une non convergence uniforme.
n
Or
1
1
2nx
1
n 2 1
In=
1
2 2 dx=- 2 [Log(l+n2 x )]o
0
+n nx
n
= 2 ~Log(1+2nn)= 2 ~ (nLog2+Logn+Log (1+ n~n))
donc lim In = Lo 2 g 2 "1-1
1 0 : il n'y a pas convergence uniforme.
n-++oo
0
15. Au sens de la convergence simple, on a liIIi fn(x) = lf(x)I.
n-++oo
La convergence est uniforme sur R car
(R-1JJ)(R+1JD
fn(x) - lf(x)I =
R
f2 +-+ lfl
n
1
1
n~
yP + n: +III
Soit ë > 0, A= {x, lf(x)I ~ ë} et B = R - A.