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Analyse fonctionnelle
Ona
1
+00
it
-it
1 1+00
F'(x)=- O
e-txe ~ie
=+2i O
(e-(i+x)t_e(i-x)t)dt
1 ( 1
1 )
-1
= 2i i+x + i-x = x2+1
(pour x > 0), donc F(x) = -Arctgx + C, pour x >O.
Or IF(x)I ~ 1+oo e-txdt = .!. donc lim F(x) = 0 donc C = ~ 2 et
o
X
x-+oo
F(x) = 7r/2 -Arctg x pour x >O.
Il reste la continuité en 0 à étudier. On a lim F(x) = ~ 2 .
x-o+
1
+oo -tx
sin t
.
1 sin t 1
FormonsF(x)-F(O) = 0
(e
-1)-t-dt,touJoursavec -t- ~ 1.
On écrit
F(x)-F(O) = 1A (e-tx_ 1 )sint dt+ {+ 00 e-txsintdt _ {+ 00 sint dt
0
t
}A
t
}A
t
On
-tx sm dt
l"
-tx sm dt
d
"è
1
+00
. t
jx . t
a
e
- -
= 1m
e
- - ,orpar ewame
A
t
x-+oo A
t
·
{X -tx
-xA rX'
formule de la moyenne }A Tsint dt = T }A sint dt, (car
-tx
2
t - T est positive décroissante), majoré en module par A donc
1
r+oo -tx sin t 1
2
r+ 00 sin t
. .
. .
j A e -t-dt ~ A et j A -t-dt est arbitrairement petit s1
2
1 r+ 00 sin t 1 ê
A-+ +oo: \;/g > 0, 3A, A+ }A Tdt ~ 2 , d'où
IF(x) - F(O)I ~ ~ + 1A le-tx - lJdt,
or x -1A e-txdt est continue, (théorèmes généraux) donc 3a,
lxl ~a::::} 1A le-tx - lJdt ~ ~
0
2
d'où finalement IF(x)-F(O)I ~ ë pour lxl ~a. La fonction Fest continue
1
+oo sint
7r
en O. Il en résulte que 0
-t-dt = 2 .