12.
Espaces fonctionnels
123
Il en résulte que lim (1 + t) 1 en +oo.
t-+oo
+t
e-txsint
Soit f(t,x) =
t
, pour t > 0, et f(O,x) = 1, l'intégrale
fo+oo f(t,x)dt est convergente en 0, pour tout x, et en +oo, comme
1si;t1 ~ 1, six> 0 on a l/(x, t)I ~ e-tx donc F(x) existe pour x >O.
.
1+
00 sint
.
.
.
.
S1 x = 0,
--dt enste, (mtégrer par parties en +oo, ou appliquer
0
t
la deuxième formule de la moyenne :
f sin t = -.!, f sin tdt
1
x"
1
1 x"'
1
lx1 t
X 1lx1
1
x"
1
donc l, si; t dt ~ ~', devient arbitrairement petit pour X' et X"
grands). Donc F(O) existe.
-~
-~
Par contre, si x < 0, lim _e - = +oo, si to est tel que _e - ~ 1 pour
t-+oo t
t
[
11"
371"
]
•
v'2
t ~ to, sur '4 + 2k7r, 4 + 2k7r on a smt ~ T donc avec k tel que
11"
-txSin
v~
11"
•
•
1
3·!+2k.,.
. t
rn 2
- 4 + 2k7r ~ to on aura
e
--dt ~ T · '2 : on me le cntère
7+2k... .
t
de Cauchy donc F(x) n'existe pas;
Finalement, Fest définie sur (0, +oo(.
Si on pose un(x) = JÏ f(t,x)dt, par les théorèmes 12.70 et 12.71, Un est
n
continue sur (0, +oo[, dérivable de dérivée '4,(x) =in -e-txsintdt.
n
Comme l/(t,x)I ~ e-ta, six~ a, on a
IF(x)-un(x)I ~ 1l /n e-tadt+ 1+oo e-tadt
1 _ e-a/n e-na
~
+-a
a
il y a convergence uniforme, sur (a, +oo(, des Un vers F qui est finalement
continue sur JO, +oo(.
Mais de même, x ~a donne 1 - e-txsintl ~ e-ta, d'où une convergence
uniforme sur [a,+oo[, de '4,(x) vers fo+oo -e-txsintdt qui est donc la
dérivée de F sur JO, +oo[.