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Analyse fonctionnelle
Or si ê tend vers 0, x1 tend vers 0 et lim e -xi = 1, alors qu'avec X tendant
e:-+0
vers +oo, x2 tend vers +oo et lim e -z 2 = 0, d'où
X-++oo
lim Ie:,X =Log b + x = F(x), d'où trivialement F continue dérivable
e ..... o+
a+x
X-++oo
pour x > sup(-a,-b) en fait et F'(x) = - b
1 - - 1 -, (et même F de
+x a+x
classe 0 00 ).
11.
Soit f(x) = (l
1
2 ), pour x E [a, 1] avec a > 0, on a /(x) ~ f(a),
+x+x
donc 1
1 (l
dx 2 )t ~ (l 1 2 )t : ceci tend très vite vers 0 si t
a
+x+x
+a+a
tend vers +oo.
Vers 0, on a /(x) = 1 - x + o(x), donc, Ve > 0, on choisit a > 0 tel que
0 ~ x ~ a implique
1 - (1 + e)x ~ f(x) ~ 1 - (1 - e)x
d'où si 1- (1 + e)a > 0, soit a< - 1
1
+e
1a (1 - (1 + e)x)tdx ~ 1a (f(x))tdx ~ 1a (1 - (1 - e)x)tdx
soit
1 - (1 - (1 + e)a)t+l ~ r (!( ))tdx ~ 1 - (1 - (1 - ê)a)t+l
(1 + t)(l + ê)
"" lo X
""
(1 + t)(l - ê)
'
d'où
1- (1 -1(~: e)a)t+l ~ (1 +t) ia (f(x))tdx. ~ 1- (1 -1(~ ~ e)a)t+l.
Si t tend vers +oo, le minorant tend vers - 1
1 , le majorant vers - 1
1
+e
-e
1
1a
1
donc 3to, Vt ~ to, - 1 - - e ~ (1 + t) (f(x))tdx ~ - 1 - + e.
+e
0
-e
J.
1
t
1 + t
.
Comme 0 ~ (1 + t) a (f(x)) dx ~ (l +a+ a 2 )t et que ce maJorant
tend vers 0 si t tend vers l'infini, 3ti, Vt ~ tl, (l 1 + t 2 )t ~ e d'où
+a+a
Vt ~ Sl.lP (to, tl), en ajoutant:
1
11
1
- 1 -
-e ~ (1 +t)
(f(x))tdx ~ - 1 - + 2e.
+e
0
-e