Suites de fonctions
> fn := (n ,x) -> (1+x/n) -n :
> plot ( [seq(fn(5*i,x) , i=1 .. 4) ,exp (x) ] ,x=-1 .. 4,
linestyle= [seq(SOLID , i=1 .. 4) ;DASH] );
-1
.2.2.3 Convergence uniforme
73
En général, l'entier N = Nx,e: dans l'assertion (1) dépend à la fois de x et de e
(voir l'ordre des quantificateurs) . Il arrive que dans certains cas, l'entier N ne
dépende pas du réel x (il est le même quel que soit le réel x choisi dans l'ensemble X) mais uniquement du réel e. En imposant à N d'être identique pour
tous les réels x choisis dans l'ensemble X, on définit une condition de convergence plus restrictive que la convergence simple. On parle de « convergence
uniforme » sur l'ensemble X. Nous verrons ultérieurement que la convergence
uniforme d'une suite d'applications continues est une condition suffisante permettant d'affirmer que l'application limite est elle aussi continue.
DÉFINITION 2.2 (Convergence uniforme)
X On dit que la suite d'applications Un )n de X dans lR converge uniformément
sur X vers l'application f de X dans IR, si
Ve E JR� 3Ne: E N Vn E N 1 'Vx E X 1
(n �N e: ==? lfn (x) - f(x)I � e ).
(2)
X On dit que la suite d'applications Un )n de X dans IR converge uniformément
sur X s'il existe une application f de X dans lR telle que la suite d'applications
Un )n converge uniformément vers f sur X.
Remarques
1. On peut montrer que l'on obtient une définition équivalente si on remplace
dans l'assertion quantifiée (2) chacune des inégalités larges par une inégalité
stricte.