72
Convergence simple et convergence uniforme
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.6
0.8
X
2. La suite d'applications Un )n de terme général fn : x E lR 1-+ Jx 2 + � + ,&
converge simplement sur lR vers l'application valeur absolue. En effet pour tout
réel x, la suite numérique de terme général Un = J x2 + � + ,& tend vers VX2
(i.e. Jxl) quand n tend vers +oo. Sur cet exemple on peut faire la constatation
suivante : bien que toutes les applications f n soient dérivables en 0, la limite f
de la suite Un )n n'est pas une application dérivable en O.
On obtient les représentations graphiques des termes fs , fio, /15 et ho de la
suite d'applications Un )n avec MAPLE de la manière suivante.
> fn := (n,x) - > sqrt (x-2+x/n+l/n-2) :
> plot ( [seq(fn(5*i ,x) ,i=1 .. 4) ] , x=-2 . . 2) ;
3. Considérons la suite Un )n de terme général fn x E lR i-+ (1 + �r.
Pour un réel x fixé considérons la suite numérique réelle de terme général
fn (x). Pour tout n E N avec n > -x on a fn (x) = exp(nln(l + x/n)) et
nln(l + x/n) "' x. On en déduit que la suite numérique réelle de terme
n ->+oo
général fn (x) converge vers e x et par conséquent que la suite d'applications
Un )n converge simplement sur lR vers l'application exponentielle.
On obtient les représentations graphiques des termes fs , fio, fis et ho de la
suite d'applications Un )n avec MAPLE de la manière suivante.