Suites de fonctions
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DÉFINITION 2.1 (Convergence simple)
J( On dit que la suite d'applications Un )n de X dans IR converge simplement
sur X vers l'application I de X dans IR si
j Vx E X 1 'v'E E IR� 3Nx,e E N 'v'n E N
(n ? Nx,e ===} lln (x) - l(x)I :::; ; E) , (1)
c'est-à-dire si pour tout x E X, la suite numérique de terme général Un =
In ( x) converge vers I ( x). L'application I est alors qualifiée de limite de la
suite d'applications Un )n ·
J( On dit que la suite d'applications Un )n de X dans IR converge simplement
sur X s'il existe une application Ide X dans IR telle que la suite d'applications
Un )n converge simplement vers I.
Remarques
1. On peut montrer que l'on obtient une définition équivalente si on remplace
dans l'assertion quantifiée (1) chacune des inégalités larges par une inégalité
stricte.
2. Pour des applications ln ayant pour ensemble de définition X, l'expression
«la suite d'applications Un )n converge simplement sur X vers l'application I
de X dans IR » contient des redondances. Celles-ci sont usuelles.
3. Il y a unicité de l'application vers laquelle une suite d'applications converge
simplement. Ceci résulte du fait qu'une suite d'applications Un )n de X dans IR
converge simplement sur X si pour tout x E X la suite numérique de terme
général Un = ln (x) converge et de l'unicité de la limite d'une suite numé•
( 3 )
nque .
o
Exemples
1. La suite d'applications Un )n de terme général ln x E [O, +oo[ � e - nx
converge simplement vers l'application
Si X> Ü
si X = Ü
Sur cet exemple on peut faire la constatation suivante : bien que toutes les
applications In soient continues sur [O, +oo[,· la limite I de la suite Un )n n'est
pas une application continue sur [O, +oo[.
On obtient les représentations graphiques des termes fio, ho, ho et l4o de la
suite d'applications Un )n avec MAPLE de la manière suivante.
> fn := (n , x) -> exp (-n*x) :
> plot ( [seq(fn(10*i , x) , i=1 .. 4)],x=O .. 1) ;
<3> Voir la proposition 5.1 p. 169 du Cours de première année.