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Convergence simple et convergence uniforme
2.2 Convergence simple et convergence uniforme
2.2.1 Généralités
On désigne par X un sous-ensemble non vide de R On appelle suite d'applications de X dans � ' une suite Un )n d'éléments de l'espace vectoriel A(X, �) des
applications de X dans R En d'autres termes, une suite d'applications Un )n est
une famille dénombrable d'applications de X dans � indicée par N. On parle de
la suite d'applications Un )n de X dans � de terme général fn : x EX 1-+ fn (x).
On note S(X, �) l'ensemble des suites d'applications de X dans R
Remarque On confond très souvent du point de vue terminologique suite de
fonctions avec suite d'applications. Nous utiliserons le terme « suite d'applications » lorsque les termes de la suite seront définis sur un même ensemble qui
sera précisé. Le terme « suite de fonctions » sera utilisé comme terme générique.
Ainsi, on parlera de la suite de fonctions de terme général f n : x 1-+ ln(x - �)
et de la suite d'applications de terme général fn : x E]l, +00(1-+ ln(x - �). o
1 Il est important que toutes les fonctions f n soient définies sur un même
ensemble X. On ne peut pas, par exemple, considérer que les fonctions
fn : x 1-+ ln(x - n) consti�ent une suite d'applications car f n est définie sur
.Jn, +oo[ et n n EN )n, +oo[- 0 .
Étant donné deux suites Un )n et (gn)n d'applications de X dans �, on définit
la somme Un )n + (gn)n de ces deux suites comme étant la suite d'applications
de terme général x EX 1-+ fn (x) + 9n(x).
On munit également l'ensemble S(X, �) d'une loi de composition externe : pour
tout >. E �et pour tout Un )n E S(X, �), la suite >. · Un )n est la suite de terme
général x EX 1-+ Àfn(x).
L'ensemble S(X, �) muni de ces deux lois est un �-espace vectoriel.
On définit enfin le produit des deux suites Un )n et (gn)n d'applications de X
dans � comme étant la suite d'applications de terme général x E X 1-+ f n(x) 9n (x).
2.2.2 Convergence simple
Si Un )n est une suite d'applications de X dans �, alors pour x E X fixé, la
suite de terme général fn (x) est une suite numérique réelle. Si pour tout x EX
fixé la suite numérique de terme général fn (x) converge, alors on dit que la
suite d'application Un )n converge simplement sur X.
Convergence simple et convergence uniforme
2.2 Convergence simple et convergence uniforme
2.2.1 Généralités
On désigne par X un sous-ensemble non vide de R On appelle suite d'applications de X dans � ' une suite Un )n d'éléments de l'espace vectoriel A(X, �) des
applications de X dans R En d'autres termes, une suite d'applications Un )n est
une famille dénombrable d'applications de X dans � indicée par N. On parle de
la suite d'applications Un )n de X dans � de terme général fn : x EX 1-+ fn (x).
On note S(X, �) l'ensemble des suites d'applications de X dans R
Remarque On confond très souvent du point de vue terminologique suite de
fonctions avec suite d'applications. Nous utiliserons le terme « suite d'applications » lorsque les termes de la suite seront définis sur un même ensemble qui
sera précisé. Le terme « suite de fonctions » sera utilisé comme terme générique.
Ainsi, on parlera de la suite de fonctions de terme général f n : x 1-+ ln(x - �)
et de la suite d'applications de terme général fn : x E]l, +00(1-+ ln(x - �). o
1 Il est important que toutes les fonctions f n soient définies sur un même
ensemble X. On ne peut pas, par exemple, considérer que les fonctions
fn : x 1-+ ln(x - n) consti�ent une suite d'applications car f n est définie sur
.Jn, +oo[ et n n EN )n, +oo[- 0 .
Étant donné deux suites Un )n et (gn)n d'applications de X dans �, on définit
la somme Un )n + (gn)n de ces deux suites comme étant la suite d'applications
de terme général x EX 1-+ fn (x) + 9n(x).
On munit également l'ensemble S(X, �) d'une loi de composition externe : pour
tout >. E �et pour tout Un )n E S(X, �), la suite >. · Un )n est la suite de terme
général x EX 1-+ Àfn(x).
L'ensemble S(X, �) muni de ces deux lois est un �-espace vectoriel.
On définit enfin le produit des deux suites Un )n et (gn)n d'applications de X
dans � comme étant la suite d'applications de terme général x E X 1-+ f n(x) 9n (x).
2.2.2 Convergence simple
Si Un )n est une suite d'applications de X dans �, alors pour x E X fixé, la
suite de terme général fn (x) est une suite numérique réelle. Si pour tout x EX
fixé la suite numérique de terme général fn (x) converge, alors on dit que la
suite d'application Un )n converge simplement sur X.