Suites de fonctions
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Exemple Considérons l'application f : x E R 1-+ (x2 - l)e - x 2 et déterminons
la valeur de sup xE[ -2 , 2 1 l f(x) I . Remarquons que comme f est continue sur R, elle
est continue sur l'intervalle fermé borné [-2, 2], donc elle est bornée et atteint
ses bornes sur [-2, 2]. La quantité sup xE[ - 2 , 2 1 IJ(x)I est par conséquent bien
définie. Par ailleurs, f étant paire, on a sup xE[ -2 , 2 1 l f(x) I = sup xE[ o, 2 1 l f(x)j.
Pour déterminer la valeur de cette borne supérieure, étudions les variations
de f sur [O, 2]. L'application f est dérivable sur R avec f' (x) = 2x(2 - x 2 )e - x 2
pour tout x E R L'application f admet le tableau de variation suivant :
X
0
.j'2
+oo
f'(x)
1
+
0
-
0
e - :.:
f(x)
/
�
-1
0
On déduit du tableau de variation que
sup l f(x) I = sup l f(x) I = max(I - li, e -2 , f(2)) = 1.
xE( -2 , 2 1
xE[0, 2 ]
On peut visualiser la représentation graphique de f avec MAPLE.
> plot ((x-2-1) *exp{-x-2},x=-4 . , 4) ;
0.2
-4
-3
3
4
On remarquera que l'on a aussi sup xE] -2 , 2 ( l f(x)I = 1 et sup xEIR l f(x)I = 1. Par
ailleurs, sup xE[i, 2 1 l f(x)I = e -2 .
Tirons profit de cet exemple pour remarquer que sup xE[ -2 , 2 1 l (x2 - 1) 1 = 3 et
sup xE[ -2 , 2 1 l e - x 2 I = 1 et par conséquent que
sup j(x 2 - l)e - x 2 I <
xE( -2 , 2 ]
sup l (x 2 - 1) 1 x sup le - x 2 1 .
xE( -2 , 2 )
xE[ -2 , 2 ]
1 Exercice 2.1 Calculer sup 1 sh(x 2 - x - 1) 1 .
xE]0, 2 [