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L'espace vectoriel des applications bornées
la borne supérieure de l'ensemble { l f(x) I ; x E X}. On a les propriétés suivantes.
PROPOSITION 2.1 Soient ( ! , g) E B(X, !R) 2 et À E lR ; on a,
1 . ll f lloo,X = Ü � f = Ü ;
2 . Il ..\ · f lloo,X = I A I ll J lloo,X ;
3 . ll J + 9 lloo,X :;:;; ll f lloo,X + ll g lloo,X ;
4. ll f X g lloo,X ,;:;; ll f lloo,X X ll g lloo,X ·
Démonstration Ces propriétés se démontrent en revenant à la définition de
la borne supérieure et en utilisant les propriétés de la valeur absolue. Montrons
la quatrième de ces relations. On a
·
Il! X g lloo,X = sup (If X g l (x)) = sup{ l f(x) x g(x) I ; x E X}.
xEX
Or, pour tout x EX on a l f(x) x g(x) I = l f(x)I x l g(x) I et
0 :;:;; l f(x) I :;:;; sup l f(t) I ,
0 :;:;; l g(x) I :;:;; sup l g(t) I .
tEX
tEX
On en déduit que pour tout x E X,
l f(x) x g(x) I :;:;; sup l f(t) I x sup l g(t) I ,
tEX
tEX
et par conséquent que sup t E X If (t)I x sup tEX l g(t) I est un majorant de l'ensemble { l f(x) x g (x) I ; x E X}. Comme la borne supérieure de cet ensemble
est, par définition, le plus petit des majorants, on a nécessairement :
sup (I f x g l (x)) :;:;; sup l f(x) I x sup l g(x) I ,
xEX
xEX
xEX
autrement dit Il! X 9lloo,X :;:;; ll f lloo,X X ll9lloo,X ·
0
Remarque Les trois premières assertions de la proposition 2.1 permettent de
dire que l'application
N: f E B(X, IR) � ll f lloo,x = sup l f(x)I
xEX
est une « norme » sur l'espace vectoriel B(X, JR). La notion d'espace vectoriel
normé sera abordée en détail au chap. 7. Comme autres exemples déjà connus
d'espaces vectoriels normés, on peut citer l'espace vectoriel lR des réels muni
de l'application valeur absolue et l'espace vectoriel norme l'application qui à un nombre complexe associe son module. On remarquera que pour ces deux cas on a l x x YI = l x l x IYI , que x et y désignent des
réels et 1 • 1 la valeur absolue ou que x et y désignent des complexes et 1 · 1 le
module.
o