CHAPITRE 2
Suites de fo nctions
Nous allons aborder dans ce chapitre l'étude des suites de fonctions. De même
qu'une suite numérique peut être vue comme une famille de scalaires indicée
par N, une suite de fonctions est définie comme une famille de fonctions indicée
par N. Bien que nous ne considérions dans ce chapitre que des suites de fonctions
réelles à valeurs réelles, les différentes notions introduites s'étendent au cas des
fonctions complexes de la variable complexe. Toutefois, à ce stade du cours, les
fonctions de la variable complexe n'ont pas été étudiées et nous disposons de
très peu d'exemples de telles fonctions. C'est la raison pour laquelle nous nous
restreignons dans un premier temps au cas de fonctions d'une variable réelle,
reléguant à un chapitre ultérieur l'étude des suites de fonctions complexes de
la variable complexe.
2.1 L'espace vectoriel des applications bornées
On désigne par X un sous-ensemble non vide de R.. Rappelons ci> qu'une application f de X dans R. est dite bornée sur X si elle est à la fois majorée sur X
et minorée sur X, en d'autres termes si :
3(M, m) E R. 2 ' De manière équivalente, f est bornée sur X si :
3 K ER.� ' On rappelle également < 2> qu'une application f continue sur un intervalle fermé
et borné [a, b] est une application bornée qui atteint ses bornes :
f(x 1 ) = inf f(x)
xE[a,b]
f(x 2 ) = sup f(x).
xE(a,b]
On désigne par B(X, R.) l'ensemble des applications de X dans R. qui sont
bornées sur X. Il s'agit d'un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des
applications de X dans R.. Pour f E 13(X, R.), on note
llfll oo,X ou sup lf(x)I
xEX
( l ) Voir le Cours de première année p. 565.
< 2> Voir le théorème 13.4 p. 596 du Cours de première année.