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Solutions des exercices
La série de terme général ( -1 ) n � est la série harmonique alternée qui est semiconvergente. La série de terme général ( -1 r n ( �'f- 1) est absolument convergente
car en désignant par ./Ill la borne supérieure des valeurs prises par la suite (bn)n,
on a:
1 n bn 1 NJ
(-l) n(n + l) :::; ; n 2
et la série L n ;,, 1 � converge. Enfin, il est clair que la série de terme général Rn
est absolument convergente d'après les critères de comparaison pour les séries à
termes positifs. On en conclut que la série L n Un est simplement convergente.
2 - a) Pour tout n EN avec n ;;: :: 2 on a
n -2 1
n -2 ( _ 2)1
p= L�i =n(n-l) L n
k! ·.
k=O
k=O
Pour tout k E {O, . .. , n - 2} le réel (n -,; , 2 > ' est un entier naturel puisque
(n - 2)1
k! . = (n - 2) X · · · X (k + 1).
On en déduit que S = L� ;: 5 (n k , 2 > ' est un entier naturel. Comme le produit de
deux entiers naturels successifs est un entier pair, n(n - 1) est pair et l'entier
p = n(n - l)S est pair.
b) Appliquons la formule de Taylor à l'ordre (n + 1) à la fonction exponentielle entre 0 et 1 : il existe en E]O, 1[ tel que
On en déduit que :
n + l 1 Cn
1
o
�
e
e - 1 = e - e = � k' + - ( --2- )1.
k=O . n + .
n + l n! ën
n -2 n!
1
ën
n! e = n!+ � k! + (n + l)(n + 2) = n! + � k! + n + l + n + 1 + (n + l)(n + 2)
·
'-v-'
=p
Pour n ;;::: 2, les entiers n! et p sont pairs : il existe q E N tel que n! + p = 2q.
On a donc
1
e Cn
n! e = 2q + (n + l) + n + 1 + (n + l)(n + 2)
et compte tenu de la périodicité de la fonction sinus
sin(n! e n ) = sin Cn + ���: + 2) + (n + l) n + n : 1 + 2qn)
(-lt +l sin (- 7r- +
n ën
) .
n + l n + l
Pour tout n E N on a lbnJ = Jnec n -1 J :::; ; en. D'après la question 1 (où on
prend a = 7r et bn = nec n ) on peut affirmer que la série L n sin( enn!) est semiconvergente.
Solutions des exercices
La série de terme général ( -1 ) n � est la série harmonique alternée qui est semiconvergente. La série de terme général ( -1 r n ( �'f- 1) est absolument convergente
car en désignant par ./Ill la borne supérieure des valeurs prises par la suite (bn)n,
on a:
1 n bn 1 NJ
(-l) n(n + l) :::; ; n 2
et la série L n ;,, 1 � converge. Enfin, il est clair que la série de terme général Rn
est absolument convergente d'après les critères de comparaison pour les séries à
termes positifs. On en conclut que la série L n Un est simplement convergente.
2 - a) Pour tout n EN avec n ;;: :: 2 on a
n -2 1
n -2 ( _ 2)1
p= L�i =n(n-l) L n
k! ·.
k=O
k=O
Pour tout k E {O, . .. , n - 2} le réel (n -,; , 2 > ' est un entier naturel puisque
(n - 2)1
k! . = (n - 2) X · · · X (k + 1).
On en déduit que S = L� ;: 5 (n k , 2 > ' est un entier naturel. Comme le produit de
deux entiers naturels successifs est un entier pair, n(n - 1) est pair et l'entier
p = n(n - l)S est pair.
b) Appliquons la formule de Taylor à l'ordre (n + 1) à la fonction exponentielle entre 0 et 1 : il existe en E]O, 1[ tel que
On en déduit que :
n + l 1 Cn
1
o
�
e
e - 1 = e - e = � k' + - ( --2- )1.
k=O . n + .
n + l n! ën
n -2 n!
1
ën
n! e = n!+ � k! + (n + l)(n + 2) = n! + � k! + n + l + n + 1 + (n + l)(n + 2)
·
'-v-'
=p
Pour n ;;::: 2, les entiers n! et p sont pairs : il existe q E N tel que n! + p = 2q.
On a donc
1
e Cn
n! e = 2q + (n + l) + n + 1 + (n + l)(n + 2)
et compte tenu de la périodicité de la fonction sinus
sin(n! e n ) = sin Cn + ���: + 2) + (n + l) n + n : 1 + 2qn)
(-lt +l sin (- 7r- +
n ën
) .
n + l n + l
Pour tout n E N on a lbnJ = Jnec n -1 J :::; ; en. D'après la question 1 (où on
prend a = 7r et bn = nec n ) on peut affirmer que la série L n sin( enn!) est semiconvergente.