Séries numériques
On en déduit que
� 1 _
�
2 (B )
_
n(2n - 1) _ 2n(n + 1)
� �
(B)
- n + � cotan k - n +
3
-
3 ·
k=l sm
k=l
65
b) Remarquons que pour x E]O, n: /2( on a l'équivalence suivante liée au fait
que tan(x) > 0, sin(x) > 0 et que la fonction carré est strictement croissante :
1
1
1
--- < - < -- {===} sin(x) < x < tan(x).
tan 2 (x) x2 sin 2 (x)
Pour montrer que pour x E]O, n:/2[ on a sin(x) < x et tan(x) > x, il suffit
d'appliquer le théorème des accroissements finis aux fonctions sinus et tangente
entre 0 et x réel fixé dans l'intervalle JO, n: /2(.
c)
Appliquons la relation précédente en prenant x = Bk = 2�� 1 pour
k E {1, ... , n }. Il a déjà été établi que B k E]O, n: /2(. On a alors pour tout
k E{l , ... ,n},
2
(2n + 1) 2 1
. 2
cotan (Bk) < n:2 k2
< sm- (B k )·
En sommant ces relations pour k E {1, .. . , n }, et en utilisant les résultats de
la question 4.a, on obtient :
1
n
(2 + 1) 2 n 1
n
2
3 n(n + 1) = L cotan 2 (B k ) < n
n:2 L k2
< 2:: sin- 2 (B k ) = 3 n(n + 1).
k=l
k=l
k=l
On en déduit que
n: 2 n(2n - 1) L
n 1 2n: 2 n(n + 1)
---- < - < ----'----'3(2n + 1)2 k=l k2 3(2n + 1)2 ·
3 - Considérons les suites (un)n et (vn)n de terme général
n: 2 n(2n - 1) n: 2 (2 - 1/n)
Un = 3(2n + 1)2 = 3(2 + 1/n)2 et
2n: 2 n(n + 1) 2n: 2 (1 + 1/n)
Vn = 3(2n + 1)2 = 3(2 + 1/n)2 ·
Ces deux suites convergent vers n: 2 /6. D'après le théorème d'encadrement, on
en conclut que :
n l
2
((2) = lim '°' k2 = n:
6
.
n -++oo �
k=l
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.16
1 - Comme la suite (bn)n est bornée, la suite de terme général Vn = � + n (!'.1;. 1 )
converge vers O. En utilisant le développement limité à l'ordre 1 de sinus en 0
(sin(x) = x + oo(x)), on obtient :
Un = (-lt � + (-l) n
(
bn
) +Rn OÙ Rn = O +oo (n -2 ).
n
nn+ l
On en déduit que
� 1 _
�
2 (B )
_
n(2n - 1) _ 2n(n + 1)
� �
(B)
- n + � cotan k - n +
3
-
3 ·
k=l sm
k=l
65
b) Remarquons que pour x E]O, n: /2( on a l'équivalence suivante liée au fait
que tan(x) > 0, sin(x) > 0 et que la fonction carré est strictement croissante :
1
1
1
--- < - < -- {===} sin(x) < x < tan(x).
tan 2 (x) x2 sin 2 (x)
Pour montrer que pour x E]O, n:/2[ on a sin(x) < x et tan(x) > x, il suffit
d'appliquer le théorème des accroissements finis aux fonctions sinus et tangente
entre 0 et x réel fixé dans l'intervalle JO, n: /2(.
c)
Appliquons la relation précédente en prenant x = Bk = 2�� 1 pour
k E {1, ... , n }. Il a déjà été établi que B k E]O, n: /2(. On a alors pour tout
k E{l , ... ,n},
2
(2n + 1) 2 1
. 2
cotan (Bk) < n:2 k2
< sm- (B k )·
En sommant ces relations pour k E {1, .. . , n }, et en utilisant les résultats de
la question 4.a, on obtient :
1
n
(2 + 1) 2 n 1
n
2
3 n(n + 1) = L cotan 2 (B k ) < n
n:2 L k2
< 2:: sin- 2 (B k ) = 3 n(n + 1).
k=l
k=l
k=l
On en déduit que
n: 2 n(2n - 1) L
n 1 2n: 2 n(n + 1)
---- < - < ----'----'3(2n + 1)2 k=l k2 3(2n + 1)2 ·
3 - Considérons les suites (un)n et (vn)n de terme général
n: 2 n(2n - 1) n: 2 (2 - 1/n)
Un = 3(2n + 1)2 = 3(2 + 1/n)2 et
2n: 2 n(n + 1) 2n: 2 (1 + 1/n)
Vn = 3(2n + 1)2 = 3(2 + 1/n)2 ·
Ces deux suites convergent vers n: 2 /6. D'après le théorème d'encadrement, on
en conclut que :
n l
2
((2) = lim '°' k2 = n:
6
.
n -++oo �
k=l
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.16
1 - Comme la suite (bn)n est bornée, la suite de terme général Vn = � + n (!'.1;. 1 )
converge vers O. En utilisant le développement limité à l'ordre 1 de sinus en 0
(sin(x) = x + oo(x)), on obtient :
Un = (-lt � + (-l) n
(
bn
) +Rn OÙ Rn = O +oo (n -2 ).
n
nn+ l