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Solutions des exercices
en décomposant la somme selon que k prend une valeur paire (k = 2f avec
f, E {O, ... , n}) ou impaire (k = 2f + 1 avec f, E {O, ... , n}). On en déduit que
n
2 ( n - f) (())
sin((2n + 1)0) = sin 2 n +l (()) x '°"' (-l) e c 2e +i cos
L..,
2 n +l - . ----,-, 2 ( ,-- n -
-f .,.,.. ) � (() - )
l=O
Sin
n
= sin 2 n +1 (e) x L(-l) e c ��tHcotan 2 (B)t -e
l=O
sin 2 n +l (()) X Pn (cotan 2 (())).
b) Pour tout k E {1, ... , n}, le réel B k = 2!� 1 appartient clairement à l'intervalle JO, 7r /2[ puisque ()k = n+�; 2 �. Il résulte alors de la question précédente
que pour k E {1, ... , n},
sin((2n + l)()k) = sin 2 n +l (() k) x Pn (cotan 2 (() k )).
Or, sin((2n + l)() k ) = sin(krr ) = 0 et sin(() k ) -:/:- 0 car la fonction sinus ne
s'annule pas sur l'intervalle J0,7r/2[. On a donc Pn (cotan 2 (() k )) = 0, autrement
dit le réel Xk = cotan 2 (() k ) est une racine de Pn pour tout k E {1, ... , n }.
c) Puisque la fonction cotangente est une injection de JO, 7r /2[ dans JO, +oo[
(elle est en effet continue et strictement décroissante sur JO, 7r /2[) et que
() k EJ0,7r/2[, les réels X k pour k E {1, . . .,n} sont tous distincts. Le polynôme Pn de IR.[XJ étant de degré n, il possède au plus n racines réelles. Les
réels x1 , ... , Xn sont donc les n racines réelles distinctes du polynôme Pn . La
décomposition en produit de facteurs irréductibles du polynôme Pn dans IR.[X]
est alors
Pn = an(X - x1 ) X (X - x 2 ) X · · · X (X - Xn)
où an désigne le coefficient du monôme de degré n dans l'expression de Pn .
On a an = (-1)° C � n +l = 2n + 1 et par conséquent,
Pn = (2n + 1) Il ( x - cotan 2 (�))
k=l
2n + 1
2 - a) En utilisant la relation donnant la somme des racines d'un polynôme <7o> ,
on obtient :
t Xk = t cotan 2 (()k) = - an - 1 = C! n +l = n(2n - 1) .
k= 1.
k=O
an C 2 n +l
3
où an (resp. an -1 ) désigne le coefficient du monôme de degré n (resp. n - 1)
dans l'expression de Pn . Par ailleurs, pour tout () EJ0,7r/2[ on a
_ 1 _ = sin 2 (()) + cos 2 (e) = 1 + cotan 2 (e).
sin 2 ( ())
sin 2 ( ())
<70> voir Je Cours de premiére année p. 247.
Solutions des exercices
en décomposant la somme selon que k prend une valeur paire (k = 2f avec
f, E {O, ... , n}) ou impaire (k = 2f + 1 avec f, E {O, ... , n}). On en déduit que
n
2 ( n - f) (())
sin((2n + 1)0) = sin 2 n +l (()) x '°"' (-l) e c 2e +i cos
L..,
2 n +l - . ----,-, 2 ( ,-- n -
-f .,.,.. ) � (() - )
l=O
Sin
n
= sin 2 n +1 (e) x L(-l) e c ��tHcotan 2 (B)t -e
l=O
sin 2 n +l (()) X Pn (cotan 2 (())).
b) Pour tout k E {1, ... , n}, le réel B k = 2!� 1 appartient clairement à l'intervalle JO, 7r /2[ puisque ()k = n+�; 2 �. Il résulte alors de la question précédente
que pour k E {1, ... , n},
sin((2n + l)()k) = sin 2 n +l (() k) x Pn (cotan 2 (() k )).
Or, sin((2n + l)() k ) = sin(krr ) = 0 et sin(() k ) -:/:- 0 car la fonction sinus ne
s'annule pas sur l'intervalle J0,7r/2[. On a donc Pn (cotan 2 (() k )) = 0, autrement
dit le réel Xk = cotan 2 (() k ) est une racine de Pn pour tout k E {1, ... , n }.
c) Puisque la fonction cotangente est une injection de JO, 7r /2[ dans JO, +oo[
(elle est en effet continue et strictement décroissante sur JO, 7r /2[) et que
() k EJ0,7r/2[, les réels X k pour k E {1, . . .,n} sont tous distincts. Le polynôme Pn de IR.[XJ étant de degré n, il possède au plus n racines réelles. Les
réels x1 , ... , Xn sont donc les n racines réelles distinctes du polynôme Pn . La
décomposition en produit de facteurs irréductibles du polynôme Pn dans IR.[X]
est alors
Pn = an(X - x1 ) X (X - x 2 ) X · · · X (X - Xn)
où an désigne le coefficient du monôme de degré n dans l'expression de Pn .
On a an = (-1)° C � n +l = 2n + 1 et par conséquent,
Pn = (2n + 1) Il ( x - cotan 2 (�))
k=l
2n + 1
2 - a) En utilisant la relation donnant la somme des racines d'un polynôme <7o> ,
on obtient :
t Xk = t cotan 2 (()k) = - an - 1 = C! n +l = n(2n - 1) .
k= 1.
k=O
an C 2 n +l
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où an (resp. an -1 ) désigne le coefficient du monôme de degré n (resp. n - 1)
dans l'expression de Pn . Par ailleurs, pour tout () EJ0,7r/2[ on a
_ 1 _ = sin 2 (()) + cos 2 (e) = 1 + cotan 2 (e).
sin 2 ( ())
sin 2 ( ())
<70> voir Je Cours de premiére année p. 247.