Séries numériques
63
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.14
1 - La fonction sinus est positive et strictement croissante sur [O, �] et pour
tout n EN* on a
1
1
7r
0 < -- < - :::; 1 < -.
n+ 1 n
2
On en déduit que 0 < sin( n � 1 ) < sin(�) et donc que la suite (an)n de
terme général Œn = sin(l/n) est positive et décroissante. Comme de plus
limn-++oo Œn = 0, le critère spécial pour les séries alternées permet de conclure
que la série L n (-l) n sin(l/n) converge. Elle ne converge pas absolument car :
1(-l) n sin(l/n)I = sin(l/n) "' 1/n et la série L n 1/n diverge.
+oo
2-Le critère de D'Alembert permet d'établir que la série L n (-l) n �� converge
absolument : pour tout n E N* on a
I
Un +l l = _ 2
Un
n + 1
et cette quantité tend vers 0 quand n tend vers +oo. Il n'y a donc pas lieu
d'utiliser le critère spécial pour les séries alternées.
3 - La fonction logarithme est positive et croissante sur [1, +oo[ donc pour tout
n EN* on a ln(n+ 1) � ln(n). On en déduit que la suite (an)n de terme général
Œn = I n C n ) est positive et décroissante. Comme de plus limn-+ +oo Œn = 0, le
critère spécial pour les séries alternées permet de conclure que la série L n \�(�;
converge. Elle ne converge pas absolument car la série de Bertrand L n I n C n )
diverge.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.15
1 - a) Pour B E]O, n /2[, on obtient en utilisant la formule de Moivre,
sin((2n + 1)0) = Im{ (cos(B) + isin(B)) 2 n +l }
2 n +l
= Im{ L c �n +l cos 2 n +l - k (e) i k sin k (e) }
k=O
n
= Im{l.: Ci� +
i cos 2 n + i- 2 t (B) (-l) i sin 2 t (B)
i=O
n
+ i L Ci�t\ cos 2 n - 2 i (B) (-l) i sin 2 i +1 (B) }
i=O
n
= 2.:(-l)i Ci�ti cos 2( n -i ) ( O ) sin 2 t + i (e),
i=O