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Solutions des exercices
2 - On a � = 1 n
n � i 1 = �
2
Vn2 + 1 ; cette quantité tend vers 0 quand n
tend vers l'infini. Par conséquent la série converge.
3 - On a � = sh (� r = e n l n ( sh ( !; ) >. Or sh(x) "' x donc sh (.!.) "' .!. et
0
n + oo n
nln(sh (.!.)) "' -nln(n). On en déduit que \/IUJ tend vers 0 quand n tend
n + oo
vers l'infini. Par conséquent la série converge.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.12
Supposons que la suite (vn)n de terme général Vn = l un + i/un l tende vers +oo.
On a alors <68 > :
3N E N Vn E N ( n ? N ==? 1 u:: 1 1 ? 1) .
On en déduit que pour tout entier n? Non a ! un + l ? l unl · Donc, à partir du
rang N la suite de terme général ! uni est croissante. Comme elle est positive (et
)
(6 9 )
•
'
'
non nulle , elle ne tend pas vers O. Or , la suite de terme general Un converge
vers 0 si et seulement si la suite de terme général ! uni converge vers O. On peut
donc affirmer que la suite de terme général Un ne converge pas vers 0 et par
conséquent que la série L:: n u� diverge grossièrement.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.13
1 - Pour tout n E N*, on a
Puisque ln(l + .!. ) "' .!., on a limn-+ + oo 1un+i1 = l / e < 1. Par conséquent la
n + ex:> n
Un
série converge.
2 - Pour tout n E N*, on a
I Un + l I
= (n
)
2
(
(n + 1)!
)
2 = n 2 .
Un n+ 1
n!
Comme cette quantité tend vers +oo, la série diverge grossièrement.
3 - Pour tout n EN, on a
1 Un + l 1 = n + 1
.
Un 2n
Comme cette quantité tend vers 1/2, la série converge absolument.
(GB) Voir la définition 5.2 p. 172 du Cours de première année. On prend ici 1t = 1.
< 5 9> Voir la proposition 5.4 p. 171 du Cours de première année.