Séries numériques
61
On en déduit qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les séries alternées L n ( -1 rên et L n ( -l) n +i En convergent est que la série L n En converge.
SOLUTION DE L' EXERCICE 1.9
1 - On montre, en utilisant par exemple le théorème des accroissements finis,
que pour tout x E lR on a -x � sin(x) � x. On a donc 1 sin(x) I � lxl pour tout
réel x. On en déduit que pour tout n E N*, l sin((-lr/n 2 )1 � 1/n 2 . Comme
la série L n .,& converge, la série L n sin( ( -l) n /n 2 ) converge absolument.
2 - Pour tout n E N avec n � 2, on a
Or n LI + ":x:, .,& et la série à termes positifs L n .,& converge. On en déduit que
�
1
·
�
(-l) n
b 1
Lm n2 - I converge pms que u n n 2 + (- i )n converge a so ument.
3 - Pour tout n E N on a
Or l + 1
'""
:b et la série à termes positifs L n :b converge. On en déduit que
n + oo n
n
�
1
� (l +i )
b 1
u n n2 + 1 converge et que u n n 2 + 1 converge a so ument.
SOLUTION DE L' EXERCICE 1.10
Supposons que la suite (vn)n de terme général Vn = \/îUJ tende vers +oo. On
a alors
ceeJ
:
�N E N 'Vn E N ( n � N ==> \/[UJ � 1) .
On en déduit que pour tout entier n � N, on a l unl � 1 . Il est alors clair que
la suite de terme général l unl ne peut pas converger vers O. Or < 6 7 l , la suite de
terme général Un converge vers 0 si et seulement si la suite de terme général
l unl converge vers O. On peut donc affirmer que la suite de terme général Un ne
converge pas vers 0 et par conséquent que la série L n Un diverge grossièrement.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.11
1
1 - On a \/[UJ = (- n -) 2; cette quantité tend vers 1/,,/2 quand n tend
2n + 1
vers l'infini. Par conséquent la série converge.
(ee) Voir la définition 5.2 p. 172 du Cours de première année. On prend ici K- = 1.
<57> Voir la proposition 5.4 p. 171 du Cours de première année.
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On en déduit qu'une condition nécessaire et suffisante pour que les séries alternées L n ( -1 rên et L n ( -l) n +i En convergent est que la série L n En converge.
SOLUTION DE L' EXERCICE 1.9
1 - On montre, en utilisant par exemple le théorème des accroissements finis,
que pour tout x E lR on a -x � sin(x) � x. On a donc 1 sin(x) I � lxl pour tout
réel x. On en déduit que pour tout n E N*, l sin((-lr/n 2 )1 � 1/n 2 . Comme
la série L n .,& converge, la série L n sin( ( -l) n /n 2 ) converge absolument.
2 - Pour tout n E N avec n � 2, on a
Or n LI + ":x:, .,& et la série à termes positifs L n .,& converge. On en déduit que
�
1
·
�
(-l) n
b 1
Lm n2 - I converge pms que u n n 2 + (- i )n converge a so ument.
3 - Pour tout n E N on a
Or l + 1
'""
:b et la série à termes positifs L n :b converge. On en déduit que
n + oo n
n
�
1
� (l +i )
b 1
u n n2 + 1 converge et que u n n 2 + 1 converge a so ument.
SOLUTION DE L' EXERCICE 1.10
Supposons que la suite (vn)n de terme général Vn = \/îUJ tende vers +oo. On
a alors
ceeJ
:
�N E N 'Vn E N ( n � N ==> \/[UJ � 1) .
On en déduit que pour tout entier n � N, on a l unl � 1 . Il est alors clair que
la suite de terme général l unl ne peut pas converger vers O. Or < 6 7 l , la suite de
terme général Un converge vers 0 si et seulement si la suite de terme général
l unl converge vers O. On peut donc affirmer que la suite de terme général Un ne
converge pas vers 0 et par conséquent que la série L n Un diverge grossièrement.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.11
1
1 - On a \/[UJ = (- n -) 2; cette quantité tend vers 1/,,/2 quand n tend
2n + 1
vers l'infini. Par conséquent la série converge.
(ee) Voir la définition 5.2 p. 172 du Cours de première année. On prend ici K- = 1.
<57> Voir la proposition 5.4 p. 171 du Cours de première année.