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Solutions des exercices
On en déduit que limn-+ +oo /n +l =µ+let par conséquent que la suite bn)n
converge vers 'Y = µ + 1.
2 - Pour tout n E N*, on a
'Yn +l - 'Yn
et Vn +l - Vn
= Un = - 1 - - ln (1 + .!.) ,
n + l
n
= 'Yn +l - - 1 - - 'Yn + .!_ = .!_ - ln (1 + .!.) .
n + l
n n
n
On déduit de la question précédente que la suite bn)n est décroissante et que
la suite (vn)n est croissante. De plus, limn-+ +oo bn - Vn) = limn-> +oo -!; = O.
Les suites bn )n et (vn)n sont donc adjacentes : elles convergent et ont même
limite. Comme bn)n converge vers /, la suite (vn)n converge aussi vers /. Des
propriétés des suites adjacentes, on déduit que pour tout n E N* on a
Vn < 'Y < 'Yn ·
Une valeur approchée de 'Y est donc !bn + vn) = /n - 2� et l'erreur commise
est inférieure à ! ( 'Yn -vn) = 2� . Pour obtenir une valeur approchée de 'Y à 10 -3
près, il suffit de prendre n = 500 et calculer 'Ysoo
-
1 0�0.
On peut effectuer ce calcul d'une valeur approchée de 'Y avec MAPLE :
> evalf (sum( 1/k ,k=1 .. 500) - ln (500) - 1/1000) ;
.577215332
On observera que l'erreur commise est nettement inférieure à 10 -3 (ce qui s'explique par le fait que la quantité 2 � est un majorant de l'erreur) :
> evalf (ganuna) ;
.5772156649
3 - Pour tout n E N* on a L � =l Î = 'Yn + ln(n). Comme la suite bn)n
converge vers 'Y et que limn-+ +oo ln(n) = +oo, on a /n = 0+00 (ln(n)) et
L � =l fë +� ln(n).
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.8
1 - Pour tout t E � et pour tout n E N on a
Une condition nécessaire et suffisante pour que la série trigonométrique L n Œnei n t
converge absolument est donc que la série L n lanl converge, autrement dit que
la série L n Œn converge absolument.
2 - Pour tout n E N on a