Séries numériques
On en déduit que pour tout entier n � N
N-l
N- l
Un = II U k+l � II Vk + l = Vn .
U N
U k
Vk VN
k= n
k= n
On a donc bien Un � U N x Vn pour tout entier n � N.
VN
59
b) En utilisant le théorème 1.2, on peut affirmer que si la série I: n Vn
converge alors la série I: n Un converge aussi.
2 - Toujours d'après le théorème 1.2, la relation Un � U N x Vn pour tout entier
VN
n � N permet d'affirmer que si la série I: n Vn diverge alors la série I: n Un
diverge aussi.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1. 7
1 - a) Appliquons le théorème des accroissements finis à l'application
f : x E � +
f-+ ln(l + x ) entre 0 et x pour x E �+ fixé. Il existe un réel c E JO, x [
tel que ln(l +x) = l �c · Comme x > 0 et 0 < c < x on a l�x < l �c < x et par
conséquent : l�x < ln(l + x ) < x.
Considérons la relation précédente avec des réels x = � où n E N* ; on obtient,
1
.!.
( 1 ) 1
-- = _ n _ < ln 1 + - < - .
n+l 1+.!.
n
n
n
Pour tout n E N*, on a donc Un = r n + l - /n = n�l
- ln (1 +�) On en conclut que la série I: n Un est à termes négatifs et que la suite (rn)n est
décroissante.
b) Comme ln(l + u) = u - !u 2 + o0(u 2 ), pour tout n E N*, on a
Un = ln + l - /n = -- - ln 1 + - = -- - - + - + O+ oo (n ).
1
( 1 ) 1 1 1
-2
n + 1
n
n + 1 n 2n2
Puisque l �u = 1 + oo(l), on obtient
et finalement,
1
1
1 1
1
-2
-- - - = -- -- = - - + O +oo (n )
n + 1 n
n2 1 + .!.
n2
n
1
-2
1
Un = - - + 0 + 00 (n ) rv --.
n2
+ oo n2
La série I: n Un est à termes négatifs et la série I: n � converge. Les critères
de comparaison pour les séries positives permettent de conclure que la série
I: n Un converge. On note µ sa somme.
Comme la série I: n Un converge et a pour somme µ, sa suite des sommes
partielles (Un)n converge aussi vers µ. Or pour tout n E N* on a
n n
Un = 2::: :: U k = 2::: :: bk + i - rk ) = r n + l - 1 1 = ln + l - 1.
k=l k=l