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Solutions des exercices
2 - Comme L n Un est une série à termes positifs convergente, limn-+ +oo Un = 0
et à partir d'un certain rang N, tous les termes de la suite (un)n sont compris
entre 0 et 1. On en déduit que pour n? Non a : 0 � Un x Vn � Vn · Comme
la série à termes positifs L n Vn converge, le théorème 1.2 permet de conclure
que la série L n Un x Vn converge.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.5
Comme L n Un et L n Vn sont deux séries à termes positifs avec Un rv Vn,
.
+oo
la convergence de la série L n Vn implique la convergence de la série L n Un·
Par conséquent les suites (Rn )n et (R�)n sont des suites à termes positifs,
décroissantes, et convergeant vers O.
1 - Puisque Un rv Vn , on a limn-+ +oo (Un - Vn)/vn = limn- +oo (�
- 1) =o.
+oo
Vn
En utilisant la définition de la limite d'une suite < 6 5 J , on obtient
'<:/E: E �� 3N2 E N Vk E N ( k ? N ===} 1 Uk � Vk 1 � c) .
Comme la suite (vn)n est à termes strictement positifs (à partir d'un certain
rang N1 ), on a pour k ? N = max( Ni , Nz ),
2 - Soit c un réel strictement positif. Pour tout ( n, p) E N 2 avec p > n ? N on a
p
p
p
p
IR� -Rn / = L (vk - uk) � L /vk - uk / � L E: Vk = c L Vk ·
k= n +l
k=n+l
k= n +l
k= n +l
Considérant la limite quand p tend vers +oo, on obtient pour tout n? N
+oo
/R� - Rn/ � é L V k = cR�.
k= n +l
3 - On a montré l'assertion suivante :
Ve E �� 3N E N Vn EN (n ? N ===} /R� - Rnl � c R�) .
Comme /R� - Rn l � cR� équivaut à IRn/R� - li � c, cette assertion indique
que limn- +oo Rn/ R� = 1. On a donc bien Rn ,... ., R�.
+oo
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.6
1 - a) Pour tout entier k? N, on a d'après les hypothèses
0
� U k+l � Vk +l
"'
-..: ::
.
Uk +l
V k
css) Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année.