Séries numériques
Puisque Cn E] - 1, 0(, on a e - 1 < exp( en) < 1 et
1
-1 1
1
1
Un - e = (n + l)! exp( c n)< (n + l)! '
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Par le théorème d'encadrement, on en déduit que la suite des sommes partielles
(un )n converge vers e -1 et par conséquent que la série E n ( -1 r; n! converge
et admet pour somme l/e.
3 - Le terme général Un de la suite des sommes partielles associée à la série
En
e:
n est :
En effectuant le changement de variable t = e - x , on obtient :
On a
et
O t n - 1
� 1
� t n
Un = { - dt = { - dt - { - dt.
11 t - 1
lo t - 1
la t - 1
.
1
1
( )
•
1
.1
e
r - dt = - [ln(l - t)] = - ln(l - e) =ln - .
h l-t
o
e-1
Rn = 1 { � � dtl � - 1 - { � t n dt =
e
.
la l-t
1- �l o
(n +l)(e-l)e n +l
Ainsi, Un = ln (
e
.= l ) +Rn et le théorème d'encadrement indique que la suite
(Rn)n converge vers O. Par conséquent la suite (Un)n converge vers - ln(l - �)
et la série E n ;;,i
e
:
n est · une série convergente de somme - ln(l - � ).
On pourra remarquer que MAPLE fournit l'expression de Sn à l'aide d'une
fonction spéciale : la fonction Lerch Phi.
> surn ( exp(-n) /n,n=1 .. N) ;
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.4
1 - Pour tout n EN, on a Un + Vn - 2Jun X Vn = (Fn - JVn") 2 ;;;;, 0, d'où
le résultat. Si les séries E n Un et E n Vn convergent alors, d'après la proposition 1. 3 , la série de terme général � (Un + vn) converge aussi. On déduit du
théorème 1.2 que la série En v'un x Vn converge.