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Solutions des exercices
b) Puisque f est de classe C 00 , on peut appliquer la formule de TaylorLagrange < 61 > entre 0 et 1 à l'ordre n, pour tout n EN. Il existe un réel c E] O , 1[
tel que :
f(l) =
n J (k l ( O ) f (n+ ll (c) n (-l) k+l (k -1)!
(-l) n
� -k -! - + (n + 1)! = � k! + (n + 1)(1 + c) n + l
(-1 r
- S n + (n + 1)(1 + c) n + l .
On en déduit que pour tout n E N*,
j f(l) + S nl = 1 (n+ 1)(� + c) n + l I :::; ; n : 1
car 1 + c > 1 . Il résulte du théorème d'encadrement < 6 2 l que la suite ( S n)n
converge vers -f(l), c'est-à-dire vers - ln(2). La somme de la série L n�l (- Ir �
est donc 2=!:i(-l) n � = -ln(2).
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.3
1 - On a la décomposition en éléments simples < 6 3 l suivante dans R(X) :
1
X(X + 1)
1 1
X - X+l ·
Le terme général Un de la suite des sommes partielles associé à la série L n n(n 1 + 1 )
s'écrit donc :
'n
n ( 1 1 ) n 1 n + l 1
1
Un = L U k = L k - k + 1 = L k - L k = l - n + 1 ·
k=l k=l
k=l k=2
La suite des sommes partielles (Un)n converge vers 1 et par conséquent la série
L n n(n 1 + 1 ) est convergente, de somme 1.
2 - La formule de Taylor-Lagrange < 6 4 l appliquée à l'ordre n à la fonction exponentielle entre -1 et 0 donne :
- 1 n (-l) k (-l) n + l
e = L � + (n + l)! exp( e n) ·
k=O
:lcn E] - 1,0{
Le terme général Un de la suite des sommes partielles associée à la série
L n (-l r /n! vérifie donc :
n (-l) k _ 1 (-l) n + l
Un = L � = e - (n+ l)! exp(c n) ·
k=O
(Gt) Voir le théorème 16.4 p. 750 du Cours de première année.
<52> Voir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.
<53> Voir le chap. 9 du Cours de première année.
<54> Voir le Cours de première année, théorème 16.4 p. 750.