Séries numériques
1. 7 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.1
55
La série L n Vn converge si et seulement si la suite (Vn)n des sommes partielles
qui lui est associée converge. Or, pour tout n EN on a :
n n
n
n
Vn = L V k = L (u k+l - U k ) = L U k+l - L U k = Un + ! - uo . (12)
k=O
k=O
k=O
k=O
On en déduit que la suite (Vn)n converge si et seulement si la suite (un)n
converge. Ainsi, la série L n Vn converge si et seulement si la suite ( un)n converge.
De plus, la relation (12) indique que la somme V de la série L n Vn et la limite f
de la suite (un)n sont liées par la relation V = f + uo.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.2
1 - a) La suite extraite correspondant aux termes d'indices pairs a pour terme
général Un = S2 n = L% : 1 ( - 1 ) k t, et la suite extraite correspondant aux termes
d'indices impairs a pour terme général Vn = S2 n +i = L% : i 1 (-l) k f · Pour tout
n EN, on a:
( ) 2 n + l 1 ( 2 n +2 1
1
1
Un + l - Un = -1 --- + - 1) --- = ---- + --- < 0,
2n + 1
2n + 2
2n + 1 2n + 2
( ) 2 n +2 1 ( ) 2 n + 3 1
1
1
Vn + 1 -Vn = -1 --- + -1 --- = --- - --- >O.
2n + 2
2n + 3 2n + 2 2n + 3
On en déduit que la suite (un)n est décroissante et que la suite (vn)n est
croissante. Par ailleurs, pour tout n EN, on a :
1
Vn - Un = S2 n + l - S2 n = - 2n + l '
donc limn--> + oo(Vn -un) =O. Les deux suites (un)n et (vn)n sont adjacentes cs s ) .
b) Puisque les deux suites ( un)n et ( vn)n sont adjacentes, elles convergent cs 9>
vers une même limite f. La suite ( S n)n admet une suite extraite correspondant
aux termes d'indices pairs et une suite extraite correspondant aux termes d'indices impairs qui convergent vers une même limite. On en déduit < 60 > que la suite
( S n)n converge. Par définition, ceci signifie que la série L n�l (-l) n � converge.
2 - a) On a f = g 0 h où h: XE [O, l) 1-+ X + 1 E [1, 2) et g: XE [1 , 2] !--+ ln(x)
sont deux applications de classe C 00 • On en déduit que f est une application de
classe C 00 • Il est aisé de vérifier par récurrence que, pour tout n E N* et pour
tout x E [O, 1], on a
cs s ) Voir la définition 5.6 p. 185 du Cours de première année.
< 5 9> Voir le théorème 5.2 p. 185 du Cours de première année.
(OO) Voir la proposition 5.19 p. 189 du Cours de première année.
1. 7 Solutions des exercices
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.1
55
La série L n Vn converge si et seulement si la suite (Vn)n des sommes partielles
qui lui est associée converge. Or, pour tout n EN on a :
n n
n
n
Vn = L V k = L (u k+l - U k ) = L U k+l - L U k = Un + ! - uo . (12)
k=O
k=O
k=O
k=O
On en déduit que la suite (Vn)n converge si et seulement si la suite (un)n
converge. Ainsi, la série L n Vn converge si et seulement si la suite ( un)n converge.
De plus, la relation (12) indique que la somme V de la série L n Vn et la limite f
de la suite (un)n sont liées par la relation V = f + uo.
SOLUTION DE L'EXERCICE 1.2
1 - a) La suite extraite correspondant aux termes d'indices pairs a pour terme
général Un = S2 n = L% : 1 ( - 1 ) k t, et la suite extraite correspondant aux termes
d'indices impairs a pour terme général Vn = S2 n +i = L% : i 1 (-l) k f · Pour tout
n EN, on a:
( ) 2 n + l 1 ( 2 n +2 1
1
1
Un + l - Un = -1 --- + - 1) --- = ---- + --- < 0,
2n + 1
2n + 2
2n + 1 2n + 2
( ) 2 n +2 1 ( ) 2 n + 3 1
1
1
Vn + 1 -Vn = -1 --- + -1 --- = --- - --- >O.
2n + 2
2n + 3 2n + 2 2n + 3
On en déduit que la suite (un)n est décroissante et que la suite (vn)n est
croissante. Par ailleurs, pour tout n EN, on a :
1
Vn - Un = S2 n + l - S2 n = - 2n + l '
donc limn--> + oo(Vn -un) =O. Les deux suites (un)n et (vn)n sont adjacentes cs s ) .
b) Puisque les deux suites ( un)n et ( vn)n sont adjacentes, elles convergent cs 9>
vers une même limite f. La suite ( S n)n admet une suite extraite correspondant
aux termes d'indices pairs et une suite extraite correspondant aux termes d'indices impairs qui convergent vers une même limite. On en déduit < 60 > que la suite
( S n)n converge. Par définition, ceci signifie que la série L n�l (-l) n � converge.
2 - a) On a f = g 0 h où h: XE [O, l) 1-+ X + 1 E [1, 2) et g: XE [1 , 2] !--+ ln(x)
sont deux applications de classe C 00 • On en déduit que f est une application de
classe C 00 • Il est aisé de vérifier par récurrence que, pour tout n E N* et pour
tout x E [O, 1], on a
cs s ) Voir la définition 5.6 p. 185 du Cours de première année.
< 5 9> Voir le théorème 5.2 p. 185 du Cours de première année.
(OO) Voir la proposition 5.19 p. 189 du Cours de première année.