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Convergence simple et convergence uniforme
2. Les deux assertions quantifiées (1) et (2) ne diffèrent que par la place du bloc
quantificateur «\lx E X ». On devra donc être vigilant lors de l'utilisation de
ces assertions quantifiées.
o
On peut exprimer l'assertion (2) à l'aide de la borne supérieure. Notons tout
d'abord que l'assertion (2) se réécrit :
Vê E IR� 3N" EN \ln EN (n � N" :::: :: :} (Vx EX lfn (x) - f(x)I ::::; ê )).
L'assertion quantifiée «\lx EX lfn (x) - f(x)I ::::; € » indique que l'ensemble
{ lfn (x) - f(x)I ; x EX} est majoré par €. Par définition, la borne supérieure
de cet ensemble qui est notée sup xE X lfn (x) - f(x)I, est le plus petit majorant
de cet ensemble. Elle vérifie donc sup xE X lfn (x) - f(x)I ::::; €. Inversement si
sup xE X lfn (x) - f(x)I ::::; € alors l'ensemble { lfn (x) - f(x)I ; x EX} est majorée
par €. L'assertion (2) est donc équivalente à
(n � N" :::: :: :} sup lfn (x) - f(x)I ::::; ê )
xE X
qu'on peut également exprimer sous la forme
Remarquons enfin que si l'on introduit la suite numérique (un)n de terme général Un = sup xE X lfn (x) - f(x)I alors l'assertion (3) exprime le fait c4> que la
suite ( un)n converge vers O. On a donc la proposition suivante.
PROPOSITION 2.2 Soit Un )n une suite d'applications de X dans lR et f une
application de X dans IR. Un e condition nécessaire et suffisante pour que la
suite Un )n converge uniformément vers f sur X est que la suite numérique
de terme général
Un = sup lfn (x) - f(x)I
xE X
converge vers O.
Exemples
1. La suite d'applications Un )n de terme général f n : x E [O, +oo[f--+ e - n x ne
converge pas uniformément vers la fonction
f : X E [0, +oo[ � { � Si X> Ü
Si X = Ü
bien que la suite d'applications Un )n converge simplement vers f (voir les
exemples p. 71). En remarquant que fn (O) = f(O) = 1, on a
. ll f n - f lloo,JR+ = sup lfn (x) - f(x)I = sup lfn (x) - f(x)I = sup le - n x j.
xER+
xEIR+
xEIR+
<4> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année .
Convergence simple et convergence uniforme
2. Les deux assertions quantifiées (1) et (2) ne diffèrent que par la place du bloc
quantificateur «\lx E X ». On devra donc être vigilant lors de l'utilisation de
ces assertions quantifiées.
o
On peut exprimer l'assertion (2) à l'aide de la borne supérieure. Notons tout
d'abord que l'assertion (2) se réécrit :
Vê E IR� 3N" EN \ln EN (n � N" :::: :: :} (Vx EX lfn (x) - f(x)I ::::; ê )).
L'assertion quantifiée «\lx EX lfn (x) - f(x)I ::::; € » indique que l'ensemble
{ lfn (x) - f(x)I ; x EX} est majoré par €. Par définition, la borne supérieure
de cet ensemble qui est notée sup xE X lfn (x) - f(x)I, est le plus petit majorant
de cet ensemble. Elle vérifie donc sup xE X lfn (x) - f(x)I ::::; €. Inversement si
sup xE X lfn (x) - f(x)I ::::; € alors l'ensemble { lfn (x) - f(x)I ; x EX} est majorée
par €. L'assertion (2) est donc équivalente à
(n � N" :::: :: :} sup lfn (x) - f(x)I ::::; ê )
xE X
qu'on peut également exprimer sous la forme
Remarquons enfin que si l'on introduit la suite numérique (un)n de terme général Un = sup xE X lfn (x) - f(x)I alors l'assertion (3) exprime le fait c4> que la
suite ( un)n converge vers O. On a donc la proposition suivante.
PROPOSITION 2.2 Soit Un )n une suite d'applications de X dans lR et f une
application de X dans IR. Un e condition nécessaire et suffisante pour que la
suite Un )n converge uniformément vers f sur X est que la suite numérique
de terme général
Un = sup lfn (x) - f(x)I
xE X
converge vers O.
Exemples
1. La suite d'applications Un )n de terme général f n : x E [O, +oo[f--+ e - n x ne
converge pas uniformément vers la fonction
f : X E [0, +oo[ � { � Si X> Ü
Si X = Ü
bien que la suite d'applications Un )n converge simplement vers f (voir les
exemples p. 71). En remarquant que fn (O) = f(O) = 1, on a
. ll f n - f lloo,JR+ = sup lfn (x) - f(x)I = sup lfn (x) - f(x)I = sup le - n x j.
xER+
xEIR+
xEIR+
<4> Voir la définition 5.1 p. 168 du Cours de première année .