Suites de fonctions
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Pour calc uler la valeur de sup xE IR* lfn (x) - f(x)I , il nous faut étudier pour
+
n E N* fixé, la fonction déc roissante sur lR. On a donc Un = sup x EIR * le - n x l = +
qui est la suite constante égale à 1 ne converge pas vers O.
2. La suite d'applications Un )n de terme général f n : x E [1, +oo[t--t e- n x
converge uniformément vers la fonction nulle. En effet, on a
llfn - f lloo ,[l,+oo[ = sup le - n x l = e - n
x E[l,+oo[
et la suite (un)n de terme général Un = e- n converge vers O.
3. La suite d'applications Un )n de terme général fn : x E]O, +oo[t--t e- n x ne
converge pas uniformément vers la fonction nulle (mais elle converge simplement vers la fonction nulle). Ceci est lié au fait que
sup le - n x l = sup le - n x l = xER+
x ER+
1 On voit avec ces exemples que la notion de convergence uniforme est très
dépendante de l'ensemble considéré. En particulier, cela n'a auc un sens de
dire qu'une suite de fonctions converge uniformément. Il est indispensable
de préciser sur quel ensemble a lieu la conve rgence uniforme.
D'un point de vue pr atique, il n'est pas toujours nécessaire de calc uler l'expression de sup x EX lfn (x) - f(x)I . En effet, la suite (un)n de terme général
Un = sup x EX lfn (x) - f(x)I étant une suite à termes positifs, une condition
nécessaire et suffisante pour que la suite réelle converge vers 0 est que la suite
(un)n soit majorée par une suite qui converge vers O. On a par conséquent le
résultat suivant.
COROLLAIRE 2.1 Soit Un )n une suite d'applications de X dans lR et f une
application de X dans lR. Un e condition nécessaire et suffisante pour que la
.mite d'applications Un )n converge uniformément vers f sur X est qu 'il existe
une suite numérique (vn)n convergeant vers 0 telle que
Vn EN
sup l fn (x) - f(x)I � Vn·
x EX
Exemples
1. La suite d'applications Un )n de terme général fn x E lR t--t � sin(nx)
converge uniformément vers la fonction nulle puisque
1 sin(nx) 1 1
Un = sup l fn (x) - OI = sup
� -
x EIR
x EIR
n
n
et
lim � = O.
n ->+oo n
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Pour calc uler la valeur de sup xE IR* lfn (x) - f(x)I , il nous faut étudier pour
+
n E N* fixé, la fonction déc roissante sur lR. On a donc Un = sup x EIR * le - n x l = +
qui est la suite constante égale à 1 ne converge pas vers O.
2. La suite d'applications Un )n de terme général f n : x E [1, +oo[t--t e- n x
converge uniformément vers la fonction nulle. En effet, on a
llfn - f lloo ,[l,+oo[ = sup le - n x l = e - n
x E[l,+oo[
et la suite (un)n de terme général Un = e- n converge vers O.
3. La suite d'applications Un )n de terme général fn : x E]O, +oo[t--t e- n x ne
converge pas uniformément vers la fonction nulle (mais elle converge simplement vers la fonction nulle). Ceci est lié au fait que
sup le - n x l = sup le - n x l = xER+
x ER+
1 On voit avec ces exemples que la notion de convergence uniforme est très
dépendante de l'ensemble considéré. En particulier, cela n'a auc un sens de
dire qu'une suite de fonctions converge uniformément. Il est indispensable
de préciser sur quel ensemble a lieu la conve rgence uniforme.
D'un point de vue pr atique, il n'est pas toujours nécessaire de calc uler l'expression de sup x EX lfn (x) - f(x)I . En effet, la suite (un)n de terme général
Un = sup x EX lfn (x) - f(x)I étant une suite à termes positifs, une condition
nécessaire et suffisante pour que la suite réelle converge vers 0 est que la suite
(un)n soit majorée par une suite qui converge vers O. On a par conséquent le
résultat suivant.
COROLLAIRE 2.1 Soit Un )n une suite d'applications de X dans lR et f une
application de X dans lR. Un e condition nécessaire et suffisante pour que la
.mite d'applications Un )n converge uniformément vers f sur X est qu 'il existe
une suite numérique (vn)n convergeant vers 0 telle que
Vn EN
sup l fn (x) - f(x)I � Vn·
x EX
Exemples
1. La suite d'applications Un )n de terme général fn x E lR t--t � sin(nx)
converge uniformément vers la fonction nulle puisque
1 sin(nx) 1 1
Un = sup l fn (x) - OI = sup
� -
x EIR
x EIR
n
n
et
lim � = O.
n ->+oo n