76
Convergence simple et convergence uniforme
2. Montrons à l'aide du corollaire 2.1 que la suite d'applications Un)n de terme
général f n : x E lR 1--+ J x2 + � converge uniformément sur lR vers la fonction
valeur absolue. Comme x 2 + ,;2 � x 2 pour tout x E lR et tout n E N*, on a
Jx 2 + ,;2 � JXi = lxl . Par ailleurs de l'inégalité Ja + b � y'a + v'b valable
pour tous réels positifs a et b, on déduit que :
R 12 �-11
1
� Y x� + 2 - X + - .
n
n
Ainsi, pour tout réel x on a 0 � Jx 2 + ,;2 - lxl � �, ce qui implique que
SU Pxe !R jJx2 + ;& - lxlj � �- Comme la suite numérique (vn)n de terme général Vn = � converge vers 0, on en déduit que la suite d'applications Un )n
converge uniformément sur R
Remarque Soient Un )n une suite d'applications de X dans lR convergeant
uniformément vers une application f de X dans lR et Y un sous-ensemble de X.
La suite Un )n converge alors uniformément sur Y vers la restriction de f à
l'ensemble Y. Ceci résulte du fait que si Y C X alors SU Pxe Y l fn(x) - f(x)I �
SU P xeX l fn(x) - f(x) I .
o
Interprétation graphique
Soit (f n)n une suite d'applications définies sur un intervalle I à valeurs dans lR
qui converge vers une application f de I dans IR. Dans un plan affine rapporté
à un repère orthonormé direct, considérons les représentations graphiques Cn ,
c, C+é et c_é des applications f n, f, f + é et f - €. Si la suite Un)n converge
uniformément vers f alors pour tout c E JR+, il existe un rang à partir duquel les représentations graphiques Cn sont toutes incluses dans la partie du
plan comprise entre C+é et c_é (et éventuellement deux parallèles à l'axe des
ordonnées si l'intervalle I est borné) .
A titre d'exemple, considérons la suite Un )n dont le terme général est
fn : x E [-1, 1] i--+ exp(- ( lxl - �) 2 ) qui converge uniformément sur [-1, 1]
vers l'application f : x E [-1, 1] 1--+ exp( -x 2 ) . Si l'on prend c = 10- 1 , la figure
ci-dessous (obtenue avec MAPLE) nous indique qu'à partir du rang 10 les représentations graphiques Cn (tracées en pointillés) sont toutes incluses dans la
partie du plan comprise entre C+é et c_é (deux des courbes en traits pleins, la
troisième étant la représentation graphique de f).
> fn:=(n,x)->exp(-(abs(x)-1/n)-2): f:=x-> exp(-x-2):
> epsilon:=0.1:
> fig1:=plot([f(x),f(x)+epsilon,f(x)-epsilon] ,x=-1 .. 1,
color=[red],thickness=[1,2,2]):
> fig2:=plot([seq(fn(n,x),n=[2,4,6,10,14,18])],x=-1 .. 1,
linestyle=DOT):
> with(plots):display(fig1,fig2);