Suites de fonctions
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-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
Afin d'illustrer graphiquement la différence entre la convergence simple et la
convergence uniforme, considérons les deux suites d'applications (gn)n et (hn)n
de terme général
1
9 n : x E [O, 1] f-+ - exp(- (x - l )
2 ) et hn : x E [O, 1] f-+ exp(-n(x - - n 1 )
2 )
.
n
n
La suite (gn)n converge simplement sur [O, 1] vers l'application g qui est l'application nulle et la suite (hn)n converge simplement sur [O, 1] vers l'application
h : x E [0, l j � { �
Si X> Ü
Si X = Ü
On vérifie sans peine que la suite (gn)n converge uniformément vers g sur [O, 1]
alors que la suite (hn)n ne converge pas uniformément vers h sur [O, l]. On
peut obtenir avec MAPLE les représentations graphiques des deux fonctions
x f-+ jg(x) - 9n (x)I et x f-+ jh(x) - hn(x)I pour quelques valeurs de n.
> gn:=(n,x)->(1/n)*exp(-(x-1/n)�2): g:= x->O:
> hn:=(n,x)->exp(-n*(x-1/n)�2):
> h:=x-> if (x <> 0) then 0 else 1 end if:
> plot([seq(abs(gn(n,x)-g(x)),n=[2,4,10,100])] ,x=-1 .. 2);
> plot([seq(abs(hn(n,x)-h(x)),n=[2,4,10,100])],x=-1 .. 2);
-1
2