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Convergence simple et convergence uniforme
On observera sur la figure de gauche que les représentations graphiques des
fonctions x 1--- -+ lg(x)-gn (x)I se présentent sous la forme d'une « bosse glissante»
se déplaçant vers l'axe des ordonnées en « s'écrasant » sur l'axe des abscisses
(cas de convergence uniforme). Les représentations graphiques des fonctions
x 1--- -+ lh(x) - hn (x)I (à droite) se présentent elles sous la forme d'une « bosse
glissante » se déplaçant vers l'axe des ordonnées sans « s'aplatir », en restant
de hauteur constante (cas de non-convergence uniforme).
On vérifie qu'en restriction à l'intervalle [� , 1] la suite de fonctions (hn)n converge
uniformément vers l'application nulle.
·
> plot([seq(abs(hn(n,x)-h(x)),n=[2,4,6,10,16])],x=1/2 . . 1);
0.4
On peut observer qu'en restriction à l'intervalle [� , 1], les représentations graphiques des fonctions x 1--- -+ lh(x) - hn (x)I « s'aplatissent» vers l'axe des abscisses.
Exercice 2.2 Montrer que la suite d'applications Un )n de terme général
f n : x E lR 1--- -+ x/(1 + x2r converge uniformément vers l'application nulle
sur IR.
2.2.4 Propriétés
THÉORÈME 2.1 Si la suite d'applications Un )n de X dans lR converge unifo rmément sur X vers l'application f de X dans lR alors elle converge aussi
simplement vers f.
Démonstration Supposons que la suite d'applications Un )n de X dans lR
converge uniformément sur X vers l'application f. Soient x0 un élément de X
et € un réel strictement positif. D'après l'assertion (2) p. 73, il existe un entier N e tel que pour tout x E X,
(n � N e ===> lfn(x) - f(x)I ::;; ê).