Suites de fonctions
En particulier, comme xo EX on a: (n;:: N" ==> l fn(xo) - f(xo)I :::; ; c ) .
On en déduit que
79
Cette assertion étant vraie pour tout x0 E IR, l'assertion (1) p. 71 est vérifiée
et on en conclut que la suite Un )n converge simplement sur X vers f.
0
Lors de l'étude de la convergence uniforme d'une suite d'applications de X
dans IR, on sera attentif aux considérations suivantes.
- S'il existe un réel xo E X tel que la suite numérique de terme général
fn(xo) diverge alors la suite Un)n ne converge pas simplement sur X. Par
conséquent elle ne converge pas non plus uniformément sur X.
- Si la suite Un )n converge simplement sur X vers une application f de X
dans IR alors, dans l'hypothèse où elle converge uniformément sur X, elle
converge uniformément vers l'application f.
- Il existe de nombreux exemples de suites de fonctions qui convergent simplement sur un ensemble X donné mais pas uniformément sur cet ensemble
(on pourra consulter les exemples des pp. 73 à 75). Par ailleurs, une suite
de fonctions peut converger uniformément sur un ensemble donné dans IR
mais pas sur un autre.
Exercice 2.3
1 - Montrer que pour qu'une suite Un )n d'applications de X dans IR ne
converge pas uniformément sur X vers la fonction nulle, il suffit qu'il existe
une suite (xn)n d'éléments de X telle que la suite de terme général f n(Xn )
ne converge pas vers O.
2 - a) Montrer que la suite d'applications (f n)n de terme général
fn : x E [O, 7r] 1---+ vfn" cos(x)(sin(x)) n converge simplement vers l'application nulle.
b) En considérant la suite (xn)n de terme général Xn = arcsin(l - �),
montrer que la suite Un)n ne converge pas uniformément sur [O, 7r] .
PROPOSITION 2.3 Soient Un)n et (gn)n deux suites d'applications de X
dans IR convergeant simplement (resp . uniformément) sur X vers f et g.
J< La suite d'applications de terme général f n + 9n converge simplement (resp .
uniformément) sur X vers f + g.
J< Pour tout À E IR, la suite d'applications de terme général À · f n converge
simplement (resp . uniformément) sur X vers À · f .
Démonstration !2: Le cas de la convergence simple résulte des propriétés des
suites numériques
En particulier, comme xo EX on a: (n;:: N" ==> l fn(xo) - f(xo)I :::; ; c ) .
On en déduit que
79
Cette assertion étant vraie pour tout x0 E IR, l'assertion (1) p. 71 est vérifiée
et on en conclut que la suite Un )n converge simplement sur X vers f.
0
Lors de l'étude de la convergence uniforme d'une suite d'applications de X
dans IR, on sera attentif aux considérations suivantes.
- S'il existe un réel xo E X tel que la suite numérique de terme général
fn(xo) diverge alors la suite Un)n ne converge pas simplement sur X. Par
conséquent elle ne converge pas non plus uniformément sur X.
- Si la suite Un )n converge simplement sur X vers une application f de X
dans IR alors, dans l'hypothèse où elle converge uniformément sur X, elle
converge uniformément vers l'application f.
- Il existe de nombreux exemples de suites de fonctions qui convergent simplement sur un ensemble X donné mais pas uniformément sur cet ensemble
(on pourra consulter les exemples des pp. 73 à 75). Par ailleurs, une suite
de fonctions peut converger uniformément sur un ensemble donné dans IR
mais pas sur un autre.
Exercice 2.3
1 - Montrer que pour qu'une suite Un )n d'applications de X dans IR ne
converge pas uniformément sur X vers la fonction nulle, il suffit qu'il existe
une suite (xn)n d'éléments de X telle que la suite de terme général f n(Xn )
ne converge pas vers O.
2 - a) Montrer que la suite d'applications (f n)n de terme général
fn : x E [O, 7r] 1---+ vfn" cos(x)(sin(x)) n converge simplement vers l'application nulle.
b) En considérant la suite (xn)n de terme général Xn = arcsin(l - �),
montrer que la suite Un)n ne converge pas uniformément sur [O, 7r] .
PROPOSITION 2.3 Soient Un)n et (gn)n deux suites d'applications de X
dans IR convergeant simplement (resp . uniformément) sur X vers f et g.
J< La suite d'applications de terme général f n + 9n converge simplement (resp .
uniformément) sur X vers f + g.
J< Pour tout À E IR, la suite d'applications de terme général À · f n converge
simplement (resp . uniformément) sur X vers À · f .
Démonstration !2: Le cas de la convergence simple résulte des propriétés des
suites numériques