Courbes et surfaces
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La notion de plan tangent à une surface paramétrée n'est définie qu'en des
points réguliers d'une surface paramétrée de classe c i . Nous avons vu qu'une
façon de déterminer les points réguliers d'une surface paramétrée de classe c i
dans l'espace est de calculer le produit vectoriel
N(u, v) = 8ucp(u, v) /\ 8vcp(u, v)
où cp E c i (U, R 3 ) désigne un paramétrage de la surface. Le point Mo = cp(u0, v0)
est régulier si et seulement si N(u0, v0) f:. O. Cette façon de procéder pour
déterminer les points réguliers d'une surface paramétrée possède l'avantage de
fournir l'équation du plan tangent. En effet, si J.. 10 = cp(uo, vo) est un point
régulier alors N(uo, vo) est un vecteur normal au plan tangent. Le plan tangent
en 1110 a donc pour équation cartésienne
a(x - xo) + b(y - Yo) + c(z - zo) = 0
(16)
où (a, b, c) désignent les composantes de N(uo, vo) et (xo, Yo, zo) les coordonnées
de Mo .
Remarque La notion de plan tangent pour des surfaces paramétrées coïncide avec la notion de plan tangent pour des surfaces cartésiennes (donnée
à la définition 11.6). En effet, une surface cartésienne dans R 3 d'équation
z = f(x, y) où f est une application définie sur un ouvert U de R 2 et à
valeurs dans � est aussi une surface paramétrée dont un paramétrage est
cp: (u, v) EU r-+ (u, v, f(u, v)) E � 3 . Pour cette nappe paramétrée, on a
pour tout (u, v) E U
N(u,v) = ��(u,v)/\��(u,v) = 0 /\ 1 = -8vf(u, v) ·
(
1
) (
o
) ( -8uf(u, v) )
8uf(u, v)
8vf(u, v)
1
Le vecteur N(u, v) n'est jamais nul, ce qui montre que tous les points d'une
surface ca,rtésienne sont réguliers au sens de la définition 11.19. D'après la
relation (16), l'équation du plan tangent à la surface paramétrée au point
Mo= cp(uo, vo) = (uo, vo, cp(uo, vo)) est
(x - uo) 8uf(uo, vo) +(y - vo) 8vf(uo, vo) + (z - cp(uo, vo)) =O.
On retrouve l'équation du plan tangent à la surface cartésienne d'équation
z = f(x, y) donnée p. 731.
o
Exemples
1. Considérons la nappe paramétrée
cp: (u, v) ER x [O, 1] t--- -t (v cos(u), vsin(u), u) E R 3 .
Nous avons vu p. 793 que l'image de cette nappe paramétrée est l'escalier
hélicoïdal et qu'il s'agit d'une surface paramétrée régulière.
Pour (u, v) E � x [O, 1], on a
�<•,v) A �<•,vl = (��;<� ïl ) A ( :j:i ) = (�;l�ïl ) ·
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La notion de plan tangent à une surface paramétrée n'est définie qu'en des
points réguliers d'une surface paramétrée de classe c i . Nous avons vu qu'une
façon de déterminer les points réguliers d'une surface paramétrée de classe c i
dans l'espace est de calculer le produit vectoriel
N(u, v) = 8ucp(u, v) /\ 8vcp(u, v)
où cp E c i (U, R 3 ) désigne un paramétrage de la surface. Le point Mo = cp(u0, v0)
est régulier si et seulement si N(u0, v0) f:. O. Cette façon de procéder pour
déterminer les points réguliers d'une surface paramétrée possède l'avantage de
fournir l'équation du plan tangent. En effet, si J.. 10 = cp(uo, vo) est un point
régulier alors N(uo, vo) est un vecteur normal au plan tangent. Le plan tangent
en 1110 a donc pour équation cartésienne
a(x - xo) + b(y - Yo) + c(z - zo) = 0
(16)
où (a, b, c) désignent les composantes de N(uo, vo) et (xo, Yo, zo) les coordonnées
de Mo .
Remarque La notion de plan tangent pour des surfaces paramétrées coïncide avec la notion de plan tangent pour des surfaces cartésiennes (donnée
à la définition 11.6). En effet, une surface cartésienne dans R 3 d'équation
z = f(x, y) où f est une application définie sur un ouvert U de R 2 et à
valeurs dans � est aussi une surface paramétrée dont un paramétrage est
cp: (u, v) EU r-+ (u, v, f(u, v)) E � 3 . Pour cette nappe paramétrée, on a
pour tout (u, v) E U
N(u,v) = ��(u,v)/\��(u,v) = 0 /\ 1 = -8vf(u, v) ·
(
1
) (
o
) ( -8uf(u, v) )
8uf(u, v)
8vf(u, v)
1
Le vecteur N(u, v) n'est jamais nul, ce qui montre que tous les points d'une
surface ca,rtésienne sont réguliers au sens de la définition 11.19. D'après la
relation (16), l'équation du plan tangent à la surface paramétrée au point
Mo= cp(uo, vo) = (uo, vo, cp(uo, vo)) est
(x - uo) 8uf(uo, vo) +(y - vo) 8vf(uo, vo) + (z - cp(uo, vo)) =O.
On retrouve l'équation du plan tangent à la surface cartésienne d'équation
z = f(x, y) donnée p. 731.
o
Exemples
1. Considérons la nappe paramétrée
cp: (u, v) ER x [O, 1] t--- -t (v cos(u), vsin(u), u) E R 3 .
Nous avons vu p. 793 que l'image de cette nappe paramétrée est l'escalier
hélicoïdal et qu'il s'agit d'une surface paramétrée régulière.
Pour (u, v) E � x [O, 1], on a
�<•,v) A �<•,vl = (��;<� ïl ) A ( :j:i ) = (�;l�ïl ) ·