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Étude des nappes paramétrées
DÉFINITION 11.20 {Plan tangent)
Soient

classe C1 qui lui est associée. On appelle plan tangent à la surfa ce paramétrée S en un point régulier Mo = passant par 1110 et de vecteurs directeurs â11 D'après la définition 11.20, le plan tangent à la surface paramétrée S en
Mo =:=== ---- -- -- ->
3(a, ,8) E IR 2 M Mo = a Ôu C'est donc l'ensemble
P = {x E IR 3 ; 3(a,,B) E IR 2 x = L'espace vectoriel engendré par les vecteurs Ô11 a aussi
P = {x E JR 3 ; 3 y E Im(Jcp(uo, vo)) x = La proposition suivante indique que la notion de plan tangent en un point régulier d'une surface paramétrée est indépendante du paramétrage C1-équivalent
choisi, autrement dit que l'on a le même plan tangent pour toutes les nappes
paramétrées C1-équivalentes représenta.nt une surface S.
PROPOSITION ll.12 Soient

paramétrés C 1 -équivalentes et S la surface paramétrée qui est leur est associée.
Si Mo est un point régulier de S tel que Mo = .Mo = 'l/;(so, ta) avec (so, ta) E V alors le plan passant par Mo et de vecteurs
directeurs â11 de vecteurs directeurs Ô5'l/;(so, to) .et Ôt Démonstration Puisque les deux nappes paramétrées

'ljJ E C 1 (V,JR 3 ) sont Ck-équivalentes, d'après la définition 11.17, il existe un
Ck-difféomorphisme () de U dans V tel que

{ Ôu Ôv où a = ôu()l ( uo, va), b = âu() 2 ( uo, va), c = ôv()l ( uo, va) et d = ôv() 2 ( uo, va).
Ces relations indiquent que l'espace vectoriel Im(Jcp(u0,v0)) engendré par les
deux vecteurs Ôu Im(J,p(so, ta)) engendré par les deux vecteurs Ô5'lj;(so, to) et Ôt'l/J(so, to). On
en déduit que les deux plans tangents sont égaux et on peut en conclure que le
plan tangent ne dépend pas du paramétrage choisi.
D