Courbes et surfaces
797
Fig. 1 7 Bouteille de Klein.
Notons qu'une autre surface non orientable, également très connue, est la surface appelée bouteille de Klein c 79> . Elle peut être obtenue par recollement de
deux anneaux de Mobius le long de leurs bords.
Il est néanmoins possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein
assez simplement. Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à deux
dimensions et essayons de lui expliquer ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui
dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte.
On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersection qu'il voit,
mais que la courbe passe au-dessus et au-dessous. Notre individu est interloqué
puisque vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce
qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir
visualiser le nœud. Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons
de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'autointersecte; voir la figure 17. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième
dimension, il suffit d'imaginer qu'aux endroits d'auto-intersection, la bouteille
passe dessus et dessous au sens de cette quatrième dimension.
11.4.3 Étude des surfaces paramétrées dans l'espace
Intéressons-nous à présent plus spécifiquement aux surfaces paramétrées dans
l'espace (n = 3).
tives de perspective et d'horizon. Un espace projectif est défini en mathématiques comme
l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif
correspond à une direction de son regard.
<79> KLEIN, Felix (1849, Düsseldorf - 1925, Gôttingen). Mathématicien allemand, connu pour
ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne et en analyse. L'appellation « bouteille » proviendrait d'une erreur d'un traducteur qui aurait confondu en
allemand « kleinsche Flache » (surface de Klein) et « kleinsche Flasche » (bouteille de
Klein).
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Fig. 1 7 Bouteille de Klein.
Notons qu'une autre surface non orientable, également très connue, est la surface appelée bouteille de Klein c 79> . Elle peut être obtenue par recollement de
deux anneaux de Mobius le long de leurs bords.
Il est néanmoins possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein
assez simplement. Imaginons un individu vivant dans un monde plat, à deux
dimensions et essayons de lui expliquer ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui
dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe qui s'auto-intersecte.
On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersection qu'il voit,
mais que la courbe passe au-dessus et au-dessous. Notre individu est interloqué
puisque vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce
qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (le haut et le bas) pour pouvoir
visualiser le nœud. Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons
de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'autointersecte; voir la figure 17. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième
dimension, il suffit d'imaginer qu'aux endroits d'auto-intersection, la bouteille
passe dessus et dessous au sens de cette quatrième dimension.
11.4.3 Étude des surfaces paramétrées dans l'espace
Intéressons-nous à présent plus spécifiquement aux surfaces paramétrées dans
l'espace (n = 3).
tives de perspective et d'horizon. Un espace projectif est défini en mathématiques comme
l'ensemble des droites vectorielles d'un espace vectoriel ; on peut imaginer l'œil d'un observateur placé sur l'origine d'un espace vectoriel, et chaque élément de l'espace projectif
correspond à une direction de son regard.
<79> KLEIN, Felix (1849, Düsseldorf - 1925, Gôttingen). Mathématicien allemand, connu pour
ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne et en analyse. L'appellation « bouteille » proviendrait d'une erreur d'un traducteur qui aurait confondu en
allemand « kleinsche Flache » (surface de Klein) et « kleinsche Flasche » (bouteille de
Klein).