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Étude des nappes paramétrées
MôBIUS, August-Ferdinand (1790, Schulpforta - 1868, Leipzig).
August-Ferdinand Môbius, astronome et mathématicien allemand, fut directeur de l'observatoire de Leipzig. En astronomie,
Môbius s'intéressa à la mécanique céleste et publia des travaux
relatifs aux occultations des planètes. En mathématiques, les
travaux de Môbius portent essentiellement sur la géométrie où
il apporta une contribution importante à la géométrie projec' tive
c78l
. Par ses études de surfaces atypiques, comme le ruban qui
porte son nom et qui est une surface « à un seul côté », il fut un
des précurseurs de la topologie. Le « ruban de Môbius » fut découvert indépendamment par Johann Benedict Listing (mathématicien allemand (1808-1882)) à peu près à la même époque.
Dans tous les cas, la nappe paramétrée 7/J est (:Jl-équivalente à cp. Il n'existe
donc qu'une seule classe d'équivalence pour la relation Rv. Le ruban de Mobius
n'est pas orientable.
I'.:'. Montrons. à présent que le ruban de Mobius est une nappe paramétrée régulière. Pour tout (
u, v) E JR 2 , le produit vectoriel N (
u, v) entre les deux vecteurs
8ucp( u, v) et 8vcp( u, v) vaut
(-2Rsi n(2 u) + v cos( u) cos(2 u) - 2 v sin( u) sin(2 u) ) (si n( u) cos(2 u) )
-2Rcos(2 u) + vcos( u) sin(2 u) + 2 v sin( u) cos(2 u) /\ sin( u) sin(2 u)
-v sin( u)
cos( u)
(2R cos( u) cos(2 u) + 2 v sin( u) cos( u) cos(2 u) + v sin(2 u ))
=
2Rcos( u) sin(2 u) + 2 v sin( u) cos( u) sin(2 u) -vcos(2 u) .
-2Rsin( u) - 2 v sin( u) 2
La nappe paramétrée cp est une nappe régulière si et seulement si pour tout
(
u , v) E JR 2 le vecteur N( u, v) est non nul, autrement dit, si et seulement si sa
norme euclidienne est non nulle. Après simplification, on obtient
llN( u, v) ll 2 = 4(R+vsin( u)) 2 +v 2 ,
ce qui prouve que pour tout (
u , v) EU on a llN( u, v) ll =f. 0 car R >O. On en
conclut que le ruban de Mobius est une surface paramétrée régulière.
D
Concrètement, on peut «fabriquer » un ruban de Mobius à l'aide d'une bande
de papier dont on recolle les deux extrémités après avoir leur avoir fait subir un
demi-tour. Contrairement à la même bande de papier recollée sans être vrillée,
ce ruban n'a ni recto, ni verso. On s'en convainc aisément en traçant un trait
au crayon sur le long du ruban de Mobius : en redécollant le ruban de Mobius,
on s'aperçoit que le trait figure des deux côtés de la bande.
<75> La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intui-
Étude des nappes paramétrées
MôBIUS, August-Ferdinand (1790, Schulpforta - 1868, Leipzig).
August-Ferdinand Môbius, astronome et mathématicien allemand, fut directeur de l'observatoire de Leipzig. En astronomie,
Môbius s'intéressa à la mécanique céleste et publia des travaux
relatifs aux occultations des planètes. En mathématiques, les
travaux de Môbius portent essentiellement sur la géométrie où
il apporta une contribution importante à la géométrie projec' tive
c78l
. Par ses études de surfaces atypiques, comme le ruban qui
porte son nom et qui est une surface « à un seul côté », il fut un
des précurseurs de la topologie. Le « ruban de Môbius » fut découvert indépendamment par Johann Benedict Listing (mathématicien allemand (1808-1882)) à peu près à la même époque.
Dans tous les cas, la nappe paramétrée 7/J est (:Jl-équivalente à cp. Il n'existe
donc qu'une seule classe d'équivalence pour la relation Rv. Le ruban de Mobius
n'est pas orientable.
I'.:'. Montrons. à présent que le ruban de Mobius est une nappe paramétrée régulière. Pour tout (
u, v) E JR 2 , le produit vectoriel N (
u, v) entre les deux vecteurs
8ucp( u, v) et 8vcp( u, v) vaut
(-2Rsi n(2 u) + v cos( u) cos(2 u) - 2 v sin( u) sin(2 u) ) (si n( u) cos(2 u) )
-2Rcos(2 u) + vcos( u) sin(2 u) + 2 v sin( u) cos(2 u) /\ sin( u) sin(2 u)
-v sin( u)
cos( u)
(2R cos( u) cos(2 u) + 2 v sin( u) cos( u) cos(2 u) + v sin(2 u ))
=
2Rcos( u) sin(2 u) + 2 v sin( u) cos( u) sin(2 u) -vcos(2 u) .
-2Rsin( u) - 2 v sin( u) 2
La nappe paramétrée cp est une nappe régulière si et seulement si pour tout
(
u , v) E JR 2 le vecteur N( u, v) est non nul, autrement dit, si et seulement si sa
norme euclidienne est non nulle. Après simplification, on obtient
llN( u, v) ll 2 = 4(R+vsin( u)) 2 +v 2 ,
ce qui prouve que pour tout (
u , v) EU on a llN( u, v) ll =f. 0 car R >O. On en
conclut que le ruban de Mobius est une surface paramétrée régulière.
D
Concrètement, on peut «fabriquer » un ruban de Mobius à l'aide d'une bande
de papier dont on recolle les deux extrémités après avoir leur avoir fait subir un
demi-tour. Contrairement à la même bande de papier recollée sans être vrillée,
ce ruban n'a ni recto, ni verso. On s'en convainc aisément en traçant un trait
au crayon sur le long du ruban de Mobius : en redécollant le ruban de Mobius,
on s'aperçoit que le trait figure des deux côtés de la bande.
<75> La géométrie projective est le domaine des mathématiques qui modélise les notions intui-