Courbes et surfaces
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Fig. 16 Ruban de i VIObius
Démonstration Pour prouver cette proposition, il suffit de trouver une nappe
paramétrée qui ne soit pas orientable. Un exemple bien connu de nappe paramétrée non orientable est le ruban de Mobius représenté à la figure 16 dont un
paramétrage est
(Rcos( 2 u) + vsin( u) cos(2 u) )
cp: (
u ,
v) E U � Rsin(2 u) + v sin( u) sin(2 u)
vcos( u)
où U =IR x [-�R, �R] et RE IR�. Montrons que la nappe paramétrée cp est
non orientable et qu'elle est régulière.
� L'application f) : (
u ,
v) E U 1-+ (
7r + u, -v ) E U est un C1-difféomorphisme
dont le jacobien vaut
Les deux nappes cp et cj; = cp o {) sont, par définition, C1-équivalentes. De plus,
pour tout (
u ,
v) E U on a
cj;( u, v) = cp( fJ (
u ,
v) ) = cp( 7r + u, -v ) = cp( u, v) ,
ce qui signifie que cj; = cp. Pour montrer que le ruban de Mobius n'est pas orientable, nous allons montrer que toute nappe paramétrée C1-équivalente à cp est
01-équivalente à cp. Cela établira qu'il existe une seule classe d'équivalence pour
la relation Ro : « être 01-équivalent » parmi toutes les nappes paramétrées
C1-équivalentes à cp et donc que cp n'est pas orientable.
Considérons une nappe paramétrée 'lj; E C1 (V, IR 3 ) qui est C 1-équivalente à cp;
il existe un C1-difféomorphisme 8 de U sur V tel que 'I/; =

deux cas :
- Sie a un jacobien qui est toujours positif, alors d'après la définition 11.18,
'lj; est 01-équivalente à cp.
- Si 8 a un jacobien qui est toujours négatif, alors, comme 'I/; = cp o 8 et
q; =

de deux C1-difféomorphismes à jacobien négatif est un C1-difféomorphisme
à jacobien positif. On en déduit que 'lj; est 01-équivalente à cj;. Mais puisque
cj; = cp, 'lj; est aussi 0 1 -équivalente à cp.