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Étude des nappes paramétrées
Plus généralement, considérons un point M = cp( u, v) avec (u, v) E R x [O, 1]
de S; on a
â
(- v sin( u) ) â (cos( u) )
Ô� (
u , v) = V co ; (
u ) ,
Ô: (
u , v) = SÏl � u)
et
(- v sin( u) cos( u) )
Jcp( u, v) = vco ; (
u ) sil � u) .
Le déterminant correspondant à la matrice carrée d'ordre 2 extraite de Jcp( u, v)
en conservant les deux premières lignes et les deux colonnes vaut -v. Si v f= O
alors ce déterminant n'est pas nul et par conséquent le point M = cp( u, v) est
régulier. Si v = 0, alors les déterminants des trois matrices carrées d'ordre 2
extraites de Jcp (
u, v) en conservant successivement les lignes 1, 2, puis 2, 3 et 1, 3
valent
1 0 cos( u)
I
= 0
0 sin( u)
'
1 0 sin( u) 1 -
_
.
( )
1
0 - smu , 1 0 cos( u)
I
_ _
( )
1
0 - cosu .
Comme les fonctions sinus et cosinus ne s'annulent jamais simultanément, quel
que soit la valeur de u, il existe au moins un de ces déterminants qui est non
nul. On en déduit que tous les points de la surface paramétrée S sont réguliers.
2. Considérons la nappe paramétrée
'P: (
u , v) E [0, 27r[xR + i---+ (
vcos( u) , vsin( u) , v) E R 3 .
dont la surface paramétrée associée est un cône de sommet l'origine du repère
et d'axe (O;k). Pour tout (
u , v) E [0, 27r(xR, on a
â
â
(- v sin( B) ) (cos( u) )
â� (
u , v ) /\ â: (
u , v) = vco ; (
B ) /\ sin } u)
( vcos( u) )
= VS �� u) .
Ce vecteur est nul si et seulement si v =O. Comme pour tout u E [O, 211'[, on a
cp( u, 0) = (0, 0, 0), on en déduit que le sommet du cône est un point multiple
et qu'il s'agit de l'unique point singulier du cône.
La proposition 11.5 indique que tout arc paramétré régulier est un arc orientable. La proposition suivante établit que cette propriété est mise en défaut
pour les nappes paramétrées.
PROPOSITION 11.11
Il existe des nappes paramétrées régulières qui ne sont pas orientables.