Courbes et surfaces
793
Comme e est un difféomorphisme de U sur V, son jacobien ne s'annule pas
sur U. Par conséquent, les réels a, b, cet d ne sont pas tous nuls, ce qui implique
que la famille {âs'l/!(so, to), Ôt'l/!(so, to)} est liée. Le point Mo est donc également
un point singulier de S pour le paramétrage 'l/J.
On en conclut que tout point de S qui est singulier pour le paramétrage
assertion indique que tout point de S qui est régulier pour le paramétrage'!/!,
l'est également pour le paramétrage D
Remarque La proposition 11.10 peut également être démontrée en utilisant des résultats d'algèbre linéaire et la caractérisation d'un point régulier
à l'aide du rang, donnée dans la remarque de la p. 791. Si cp E c i (U, !R n ) et
'!/! E c i (V, R n ) sont deux nappes paramétrées Ck-équivalentes telles que
on a
Jip(uo, va ) = J.,µ(so, ta) x Jo(uo, va )
où (sa, ta) = B(uo, vo) et où la matrice < 7 6> Jo(uo, va ) E GL2(1R). On en déduit
que les matrices Jip(u 0 , v 0 ) et J.,µ(s0, t 0 ) ont même image et par conséquent que
leurs rangs sont égaux.
<>
Illustrons par un exemple les deux méthodes pour déterminer les points réguliers d'une nappe paramétrée qui ont été mentionnées dans la remarque de la
p. 791.
Exemples
1. L'escalier hélicoïdal est la surface S de JR 3 dont un paramétrage est < 77 >
et J,(o, �) � 0 �)
Le déterminant d'ordre 2 correspondant à la matrice extraite de Jip(O, ! ) en
conservant les deux premières lignes et les deux colonnes vaut -! · Il est non
nul, ce qui signifie que les deux vecteurs Ôu
( 7 6)
•
•
•
(a
Remarquer que la matrice Je ( uo, vo) correspond a la matrice b
a, b, cet d sont définis dans la preuve de la proposition 11.10.
( 77 ) Voir l'exemple de la p. 788.
�) où les coefficients
793
Comme e est un difféomorphisme de U sur V, son jacobien ne s'annule pas
sur U. Par conséquent, les réels a, b, cet d ne sont pas tous nuls, ce qui implique
que la famille {âs'l/!(so, to), Ôt'l/!(so, to)} est liée. Le point Mo est donc également
un point singulier de S pour le paramétrage 'l/J.
On en conclut que tout point de S qui est singulier pour le paramétrage
assertion indique que tout point de S qui est régulier pour le paramétrage'!/!,
l'est également pour le paramétrage D
Remarque La proposition 11.10 peut également être démontrée en utilisant des résultats d'algèbre linéaire et la caractérisation d'un point régulier
à l'aide du rang, donnée dans la remarque de la p. 791. Si cp E c i (U, !R n ) et
'!/! E c i (V, R n ) sont deux nappes paramétrées Ck-équivalentes telles que
on a
Jip(uo, va ) = J.,µ(so, ta) x Jo(uo, va )
où (sa, ta) = B(uo, vo) et où la matrice < 7 6> Jo(uo, va ) E GL2(1R). On en déduit
que les matrices Jip(u 0 , v 0 ) et J.,µ(s0, t 0 ) ont même image et par conséquent que
leurs rangs sont égaux.
<>
Illustrons par un exemple les deux méthodes pour déterminer les points réguliers d'une nappe paramétrée qui ont été mentionnées dans la remarque de la
p. 791.
Exemples
1. L'escalier hélicoïdal est la surface S de JR 3 dont un paramétrage est < 77 >
et J,(o, �) � 0 �)
Le déterminant d'ordre 2 correspondant à la matrice extraite de Jip(O, ! ) en
conservant les deux premières lignes et les deux colonnes vaut -! · Il est non
nul, ce qui signifie que les deux vecteurs Ôu
( 7 6)
•
•
•
(a
Remarquer que la matrice Je ( uo, vo) correspond a la matrice b
a, b, cet d sont définis dans la preuve de la proposition 11.10.
( 77 ) Voir l'exemple de la p. 788.
�) où les coefficients