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Étude des nappes paramétrées
alors le point lv lo = cp(uo, vo) est un point singulier et dans le cas contraire, il
s'agit d'un point régulier.
o
Comme toutes les notions définies à partir d'un paramétrage, il est important
d'établir que la notion de point régulier ne dépend pas de la nappe paramétrée
choisie comme paramétrage de la surface.
PROPOSITION 11.10 Soient cp et 'l/; deux nappes paramétrées de classe c i
qui sont c i -équivalentes et S la surface paramétrée qui est leur est associée.
Un point Mo E S est régulier pour le paramétrage cp si et seulement si il est
régulier pour le paramétrage 'l/;.
Démonstration Soient cp E C 1 (U, IR. n ) et 'l/; E C 1 (V, IR. n ) deux nappes paramétrées C 1 -équivalentes et s la surface paramétrée qui est leur image commune (S = cp(U) = 'l/;(V)). D'après la définition 11. 17, il existe un Ck-difféomorphisme 8 de U dans V tel que cp = 'l/; o 8. Notons 8i et 8 2 les deux composantes de l'application 8 ; pour tout (u, v) E U on a
cp(u, v ) = 'l/;( th (u, v), 8 2 (u, v)) .
En dérivant cette égalité par rapport aux variables u et v, on obtient '7 5l
{ 8cp 88 1 ô'l/; ôfh 8'l/;
ôu (u, v) = ôu (u, v) ôs (8(u, v)) + 8u (u, v) Bt (8(u, v))
Ôcp
88 1
8'l/;
88 2
ô'l/;
.
(l4)
ôv (u, v) - Dv (u, v) 88 (8(u, v)) + Dv (u, v) Bt (8(u, v))
Considérons un point Mo de S tel que Mo = cp(uo, v0) avec (u0, v0) E U
et tel que Mo = 'l/;(so, to) avec (so, to) E V. On a 8( uo, vo) = (so, to) et les
relations (14) évaluées en (uo, vo) s'écrivent
{ 8cp ô'l/; 8'l/;
8u (uo, vo) = a 88 (so, to) + b 8t (so, to)
8cp
8'l/;
8'l/;
8v (uo, vo) = c 88 (so, to) + d Bt (so, to)
(15)
où a= 8u8 1 (uo, vo), b = 8u8 2 (uo, vo), c = 8v8 1 (uo, vo) et d = 8v8 2 (uo, vo).
Supposons que le point Mo = cp(uo, vo) est un point singulier de S pour le
paramétrage cp. D'après la définition 11.19, la famille { 8ucp(uo , vo), 8vcp(uo, vo)}
est liée :
On déduit des relations (15) que
8'l/;
ô'l/;
(>.a + µ c) 88 (so, to) + (>.b + µd) Bt (so, t0) =O.
'15> On a noté � (resp. ��) la dérivée de l'application 'lj; par rapport au premier (resp.
second) vecteur de la base canonique de IR 2 •
Étude des nappes paramétrées
alors le point lv lo = cp(uo, vo) est un point singulier et dans le cas contraire, il
s'agit d'un point régulier.
o
Comme toutes les notions définies à partir d'un paramétrage, il est important
d'établir que la notion de point régulier ne dépend pas de la nappe paramétrée
choisie comme paramétrage de la surface.
PROPOSITION 11.10 Soient cp et 'l/; deux nappes paramétrées de classe c i
qui sont c i -équivalentes et S la surface paramétrée qui est leur est associée.
Un point Mo E S est régulier pour le paramétrage cp si et seulement si il est
régulier pour le paramétrage 'l/;.
Démonstration Soient cp E C 1 (U, IR. n ) et 'l/; E C 1 (V, IR. n ) deux nappes paramétrées C 1 -équivalentes et s la surface paramétrée qui est leur image commune (S = cp(U) = 'l/;(V)). D'après la définition 11. 17, il existe un Ck-difféomorphisme 8 de U dans V tel que cp = 'l/; o 8. Notons 8i et 8 2 les deux composantes de l'application 8 ; pour tout (u, v) E U on a
cp(u, v ) = 'l/;( th (u, v), 8 2 (u, v)) .
En dérivant cette égalité par rapport aux variables u et v, on obtient '7 5l
{ 8cp 88 1 ô'l/; ôfh 8'l/;
ôu (u, v) = ôu (u, v) ôs (8(u, v)) + 8u (u, v) Bt (8(u, v))
Ôcp
88 1
8'l/;
88 2
ô'l/;
.
(l4)
ôv (u, v) - Dv (u, v) 88 (8(u, v)) + Dv (u, v) Bt (8(u, v))
Considérons un point Mo de S tel que Mo = cp(uo, v0) avec (u0, v0) E U
et tel que Mo = 'l/;(so, to) avec (so, to) E V. On a 8( uo, vo) = (so, to) et les
relations (14) évaluées en (uo, vo) s'écrivent
{ 8cp ô'l/; 8'l/;
8u (uo, vo) = a 88 (so, to) + b 8t (so, to)
8cp
8'l/;
8'l/;
8v (uo, vo) = c 88 (so, to) + d Bt (so, to)
(15)
où a= 8u8 1 (uo, vo), b = 8u8 2 (uo, vo), c = 8v8 1 (uo, vo) et d = 8v8 2 (uo, vo).
Supposons que le point Mo = cp(uo, vo) est un point singulier de S pour le
paramétrage cp. D'après la définition 11.19, la famille { 8ucp(uo , vo), 8vcp(uo, vo)}
est liée :
On déduit des relations (15) que
8'l/;
ô'l/;
(>.a + µ c) 88 (so, to) + (>.b + µd) Bt (so, t0) =O.
'15> On a noté � (resp. ��) la dérivée de l'application 'lj; par rapport au premier (resp.
second) vecteur de la base canonique de IR 2 •