Courbes et surfaces
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Démonstration La preuve de ce résultat, qui s'effectue en utilisant un raisonnement analogue à celui effectué pour établir la proposition 11.3, est laissée
en exercice.
D
1 Exercice 11.8 En s'inspirant de la preuve de la proposition 11.3, montrer
que toute nappe paramétrée simple est orientable.
11.4.2 Régularité des nappes paramétrées
Comme pour les courbes paramétrées, on peut définir une notion de point
régulier d'une surface paramétrée.
DÉFINITION 11.19 (Point régulier d'une surface paramétrée)
Soient cp E C 1 (U, � n ) une nappe paramétrée et S la surface paramétrée de
classe C 1 qui lui est associée.
X On dit que le point Mo de S tel que Mo = cp(uo, vo) avec (uo, vo) E U est
un point régulier de S pour le paramétrage cp si la famille
{ ôcp Ôcp }
ôu (uo,vo), ôv (uo,vo)
est une famille libre.
X Un point qui n'est pas régulier est appelé un point singulier.
Remarques
1. Une surface paramétrée dont tous les points sont réguliers est appelée une
surf ace régulière.
2. La matrice jacobienne de l'application cp E C 1 (U, � n ) en (u0, v0) E U est la
matrice J;,, (uo, vo) E M n , 2 (�) définie par
( Ôu'P l ( uo, vo)
Ôu'P 2 ( uo, vo)
J..,(uo, vo) =
.
Ôu'P n (uo, vo)
Ôv'P l ( uo, vo) )
Ôv'P 2 ( uo, vo)
.
.
Ôv'P n (uo, vo)
D'après la définition 11.19, un point Mo = cp(uo,vo) où (uo,vo) EU est un
point régulier si et seulement si la matrice jacobienne J..,(uo, vo) est de rang 2.
3. Dans le cas d'une surface paramétrée S dans l'espace (cas où n = 3), on peut
également déterminer les points réguliers et les points singuliers de S à l'aide
du produit vectoriel. Le point Mo= cp(uo,vo) avec (uo,vo) EU est un point
singulier de S pour le paramétrage cp si la famille {ô ucp(uo,vo), Ôvcp(uo,vo)}
est liée, autrement dit si les deux vecteurs Ôucp(uo, vo) et Ôvcp(uo, vo) sont colinéaires. Or, dans l'espace, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur
produit vectoriel est nul. Par conséquent, si
Ôcp
Ôcp
ôu (uo, vo) /\ ôv (uo, vo) = 0