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Étude des nappes paramétrées
Remarques
1. La relation « être Ck-équivalent » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des nappes paramétrées. Cela se démontre d'une manière très similaire
à la proposition 11.2 p. 736 concernant les arcs paramétrés. On appelle nappe
géométrique toute classe d'équivalence pour cette relation.
2. Si Ck-équivalentes alors elles ont pour image la même surface paramétrée puisque
h
d
.
<73> 0
. .
l' f
.
1
c ange pas e signe . n peut ams1, comme on a ait pour es arcs paramétrés (voir la définition 11.8 p. 739), classer les nappes qui sont Ck-équivalentes
selon le signe du jacobien du changement de paramétrage.
DÉFINITION 11.18 (Nappes paramétrées Ok-équivalentes)
Soient U et V deux ouverts connexes de IR 2 , n un entier supérieur ou ég al
à 2 et k E N* U { oo}. On dit que les deux nappes paramétrées Ck-équivalentes
existe au plus deux classes d'équivalence pour la relation Ro : « être
Ok-équivalent » parmi les nappes Ck-équivalentes à une nappe donnée. On
dit qu'une nappe paramétrée est orientable lorsque sa classe d'équivalence
(i.e. la nappe géométrique qui lui est associée) pour la relation R : « être
Ck-équivalent » possède deux classes d'équivalence pour la relation Ro. Orienter une nappe paramétrée c'est choisir l'une de ces deux classes.
Les propositions 11.3 et 11.5 affirment que tous les arcs paramétrés simples et
que tous les arcs paramétrés réguliers sont orientables. On peut légitimement
se demander s'il en est de même pour les nappes paramétrées. Nous allons voir
que toutes les nappes paramétrées simples sont orientables mais qu'il existe des
nappes paramétrées régulières qui ne le sont pas.
PROPOSITION 11.9 To ute nappe paramétrée simple <1•> est orientable.
<73> Cette propriété est vraie uniquement si le difféomorphisme est défini sur un ensemble
connexe. Dans tout ce chapitre, nous considérons des nappes paramétrées définies sur
des ensembles connexes, voir p. 717.
<7 4 > Rappelons qu 'une nappe paramétrée 'Pest dite simple si l'application cp est injective.
Étude des nappes paramétrées
Remarques
1. La relation « être Ck-équivalent » est une relation d'équivalence sur l'ensemble des nappes paramétrées. Cela se démontre d'une manière très similaire
à la proposition 11.2 p. 736 concernant les arcs paramétrés. On appelle nappe
géométrique toute classe d'équivalence pour cette relation.
2. Si Ck-équivalentes alors elles ont pour image la même surface paramétrée puisque
h
d
.
<73> 0
. .
l' f
.
1
c ange pas e signe . n peut ams1, comme on a ait pour es arcs paramétrés (voir la définition 11.8 p. 739), classer les nappes qui sont Ck-équivalentes
selon le signe du jacobien du changement de paramétrage.
DÉFINITION 11.18 (Nappes paramétrées Ok-équivalentes)
Soient U et V deux ouverts connexes de IR 2 , n un entier supérieur ou ég al
à 2 et k E N* U { oo}. On dit que les deux nappes paramétrées Ck-équivalentes
existe au plus deux classes d'équivalence pour la relation Ro : « être
Ok-équivalent » parmi les nappes Ck-équivalentes à une nappe donnée. On
dit qu'une nappe paramétrée est orientable lorsque sa classe d'équivalence
(i.e. la nappe géométrique qui lui est associée) pour la relation R : « être
Ck-équivalent » possède deux classes d'équivalence pour la relation Ro. Orienter une nappe paramétrée c'est choisir l'une de ces deux classes.
Les propositions 11.3 et 11.5 affirment que tous les arcs paramétrés simples et
que tous les arcs paramétrés réguliers sont orientables. On peut légitimement
se demander s'il en est de même pour les nappes paramétrées. Nous allons voir
que toutes les nappes paramétrées simples sont orientables mais qu'il existe des
nappes paramétrées régulières qui ne le sont pas.
PROPOSITION 11.9 To ute nappe paramétrée simple <1•> est orientable.
<73> Cette propriété est vraie uniquement si le difféomorphisme est défini sur un ensemble
connexe. Dans tout ce chapitre, nous considérons des nappes paramétrées définies sur
des ensembles connexes, voir p. 717.
<7 4 > Rappelons qu 'une nappe paramétrée 'Pest dite simple si l'application cp est injective.