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Étude des nappes paramétrées
Le plan tangent à l'escalier hélicoïdal en un point M = cp( u, v) avec
(u, v) E � x [O, 1) a donc pour équation cartésienne
- sin( u) (x -v cos( u) ) + cos( u) (y -v sin( u) ) - v(z -u) = O.
Au point Mo de coordonnées cp(O, �) = ( �,0,0), le plan tangent à l'escalier
hélicoïdal a pour équation cartésienne y - 2z =O.
2. Cherchons à déterminer une équation du plan tangent en chaque point régulier d'un cône S dont un paramétrage est
cp: (
u , v) E [O, 27r[X� t--- --t (
v cos( u) , vsin( u) , v) E � 3 .
Nous avons établi p. 793 que tous les points du cône sont des points réguliers à
l'exception de son sommet qui ici est l'origine et qui correspond à cp( u, 0), avec
u E [0,27r[. Pour tout (
u , v) E [0,27r[x�* on a
â
â
( -v sin( u) ) ( cos( u) ) ( vcos( u) )
N (
u, V ) = {) � (
u, V) /\ â� (
u, V) = V coi( u) /\ sin
l
(
u) = V s�� u) .
L'équation du plan tangent au cône en un point Mo = cp( u, v) distinct de
l'origine est :
vcos( u) (x -vcos( u) ) + vsin( u) (y -vsin( u) ) -v (z -v) = 0
c'est-à-dire : v cos( u) x + v sin( u) y -v z = O.
Exercice 11.9
•
'
,
(80)
On cons 1 dere la nappe parametrée
( v cos( u) - (1 -v) sin( u) )
cp: (
u , v) E [O, 27r[x[O, l] t--- --t vsin( u) + (� -v) cos( u) .
1 - Montrer que la surface paramétrée S associée à cp est régulière.
2 - Déterminer l'équation du plan tangent à Sen chacun de ses points.
Remarque Si une nappe paramétrée cp E C1 (U, � n ) est orientable alors l'application N : (
u , v) E Ur-+ Ôu cp( u, v) /\ Ôvcp( u, v) est continue et on a
cp( u, v) . = cp( u , v ) =} N(u, v) = N(u, V)
pour presque
(8l) tout ( (
u, V ) , (u, v)) E U 2 • Autrement dit, si une surface est
orientable alors on peut associer à chaque point Jvl E S un vecteur normal à la
surface S et cette association définit une application continue.
o
(8o) Voir l'exercice 11.7 p. 789.
<81> C'est-à-dire pour tout ((u, v) , (u, v)) E U 2 sauf éventuellement pour ((u, v) , (u, v)) E V 2
où V est un sous-ensemble de U d'intérieur vide.