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Étude des nappes paramétrées
11.4 Étude des nappes paramétrées
Rappelons
( 7 0 ) qu'une nappe paramétrée de classe c k (k E N* u {OO}) de ]Rn
(n E N, n � 2) est une application de JR 2 et à valeurs dans JR n . Les ensembles U sur lesquels sont définies les nappes
paramétrées étudiées ici sont supposés connexes en> . Une surface paramétrée
correspond à l'image
formée d'un segment horizontal s'appuyant sur l'axe d'un cylindre d'une part,
et sur une hélice tracée sur ce cylindre d'autre part. Le pas de l'hélice étant
de 271' et le rayon du cylindre R = 1 ». La surface S est représentée figure 15.
On peut toutefois dans de nombreux cas trouver une nappe paramétrée représentant la dite surface. Détaillons cette approche sur l'exemple cité. Tout
d'abord, un paramétrage d'une hélice H de pas 271' et de rayon 1 est
t E lR. f--+ (cos(t), sin(t), t) E JR. 3 .
D'après l'énoncé, un point f\!J de coordonnées (x, y, z) E JR. 3 appartient à la
surface S s'il est sur un segment d'extrémités N et P, N étant un point de
l'hélice H et P le projeté de N sur l'axe (O; k) . Autrement dit,
MES
3N EH 3>. E [O, 1]
----+
----4
---- -4
OM = >.ON+ (1 - >.)OP.
Le point N appartient à l'hélice H signifie qu'il existe t E lR. tel que
N = (cos(t),sin(t),t) et le projeté P de N sur l'axe (O;k) a pour coordonnées (0, 0, t). On a donc,
MESÇ=}3t EIR. 3>.E[0,1] (x,y,z) =(À cos(t),>.sin(t),t).
<7 0> Voir la définition 11.3 p. 716.
( 7 l ) Voir à ce sujet la remarque de la p. 717.
Étude des nappes paramétrées
11.4 Étude des nappes paramétrées
Rappelons
( 7 0 ) qu'une nappe paramétrée de classe c k (k E N* u {OO}) de ]Rn
(n E N, n � 2) est une application de JR 2 et à valeurs dans JR n . Les ensembles U sur lesquels sont définies les nappes
paramétrées étudiées ici sont supposés connexes en> . Une surface paramétrée
correspond à l'image
formée d'un segment horizontal s'appuyant sur l'axe d'un cylindre d'une part,
et sur une hélice tracée sur ce cylindre d'autre part. Le pas de l'hélice étant
de 271' et le rayon du cylindre R = 1 ». La surface S est représentée figure 15.
On peut toutefois dans de nombreux cas trouver une nappe paramétrée représentant la dite surface. Détaillons cette approche sur l'exemple cité. Tout
d'abord, un paramétrage d'une hélice H de pas 271' et de rayon 1 est
t E lR. f--+ (cos(t), sin(t), t) E JR. 3 .
D'après l'énoncé, un point f\!J de coordonnées (x, y, z) E JR. 3 appartient à la
surface S s'il est sur un segment d'extrémités N et P, N étant un point de
l'hélice H et P le projeté de N sur l'axe (O; k) . Autrement dit,
MES
3N EH 3>. E [O, 1]
----+
----4
---- -4
OM = >.ON+ (1 - >.)OP.
Le point N appartient à l'hélice H signifie qu'il existe t E lR. tel que
N = (cos(t),sin(t),t) et le projeté P de N sur l'axe (O;k) a pour coordonnées (0, 0, t). On a donc,
MESÇ=}3t EIR. 3>.E[0,1] (x,y,z) =(À cos(t),>.sin(t),t).
<7 0> Voir la définition 11.3 p. 716.
( 7 l ) Voir à ce sujet la remarque de la p. 717.