Courbes et surfaces
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Exemple Reprenons l'étude de la projection orthogonale sur le plan P d'équation x + y + z = 1 de la spirale effectuée p. 784. Dans le repère canonique
(O; i,j, k), un paramétrage du projeté de la spirale est,
1 (1 + 2 cos(t) - sin(t) - t)
cp: t E lR. � '3 1 - cos(t) + 2 sin(t) - t
1 - cos(t) - sin(t) + 2t
Déterminons un paramétrage du projeté de la spirale dans un repère local
au plan P. On a a = b = c = 1/./3. Choisissons pour origine le point
n = cp(37r) = ( - � - 7r, � - 7r, � + 27r) et pour vecteurs de la base du repère du
plan P les vecteurs
Un paramétrage du projeté de la spira. le dans le repèrè (f!; e1, e2, e3) est donné
d'après (13) par
( )5-(sin(t) + cos(t) + 1 - 2t + 6n) )
'ljJ: t E lR. �
�(sin(t) - cos(t) - 1 )
.
0
Bien entendu, dans la pratique on refera le raisonnement ayant conduit au
paramétrage (13) sur chaque cas particulier rencontré.
On peut avoir recours à MAPLE pour illustrer la situation. Les instructions
suivantes permettent de représenter d'une part la spirale, son projeté dans le
plan P ainsi que le repère (n; ei, e2, e3) et d'autre part la courbe paramétrée
associée à 'ljJ.
> a:=1/sqrt(3) :b:=1/sqrt (3) :c:=1/sqrt (3) : cste : =1/sqrt (a-2+b-2):
> e1 :=[a*c*cste , b*c*cste ,-(a-2+b-2) *cste] :
> e2 :=[-b*cste , a*cste ,O] :
> e3 :=[a,b,c] ;
> de s1 : =spacecurve([cos (t) , sin(t) ,t], t=O .. 3*Pi) :
> des2 : =arrow ({fy (t0) },{e1 ,e2,e3}) :
> des3 :=plot3d (1-x-y ,x=-4 .. 1,y=-4 .. 1,transparency=0 .5) :
> des4 :=spacecurve ([(1+2*cos (t) -sin ( t) -t)/3,
(1-cos (t)+2*sin(t) -t) /3 , (1-cos (t) -sin(t)+2*t) /3] ,t=O .. 3*Pi) :
> display3d ( {des1,des2 ,des3 , des4} , scaling=constrained) ;
> plot([( 1+cos(t)+sin (t) -2*t+6*Pi)/sqrt (6) ,
(-1-cos (t)+sin (t) ) /sqrt (2) ,t=O .. 3*Pi] ) ;