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Étude des arcs paramétrés
k
j
0
Fig. 14 Dans le repère (rl; e1, e 2 , e 3 ), le plan Pa pour équation
z = 0.
On dispose donc de l'expression des coordonnées (x, y, z) en fonction de (X, Y, Z).
Cette relation permet également d'exprimer les coordonnées (X, Y, Z ) en fonction de (x, y, z) en résolvant le système linéaire associé. On obtient <6 9 > , compte
tenu du fait que a 2 + b 2 + c 2 = 1 et que le point M appartient au plan P :
1
X=
(ac (x - v'a 2 + b 2
Y= - v ;=; a 2
<= =
1
+
= b
;:; ;: 2 ( - b (x - Z= O
On en conclut que la courbe paramétrée C admet pour paramétrage dans le
repère (D; e1,e 2 ,e 3 )
où
'l/J: t El r-t (X (t), Y(t), 0) E � 3
X (t) -v
= a 2
=
1
+
= b
= 2 ( a c ( - (a 2 + b 2 )(

Y (t) - v ;:=; a 2
=
1
+
= b
:::; ;:
2 (- b ( ( 1
3)
<5 9 > On remarquera que ce résultat n'a de sens que si a2 + b 2 =F O. Lorsque a2 + b 2 = 0 alors
le plan P a déj à pour équation z = 0 dans le repère initial.