Courbes et surfaces
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Représentation paramétrique d'une courbe plane dans un système de coordonnées adapté
Une courbe dans l'espace, même plane, n'est pas toujours simple à visualiser
sans logiciel de visualisation graphique (considérer l'exemple précédent où la
spirale est projetée sur le plan d'équation x +y+ z = 1). En pratique, étant
donné une courbe paramétrée plane, il peut être intéressant d'en obtenir une
représentation paramétrique dans un système de coordonnées adapté au plan
contenant la courbe. La méthode pour obtenir une telle représentation paramétrique consiste dans un premier temps à déterminer une base orthogonale
de JR 3 dans laquelle le plan P a pour équation Z = O. On procède pour cela de
la manière suivante.
Considérons un plan P d'équation ax + by + cz = d dans le repère canonique
(O; i,j, k) de JR 3 avec
ces) (a, b, c, d) E JR4, a 2 + b 2 + c 2 = 1 et c;? O. On construit
une base orthogonale { e 1 , e 2 , e 3 } dans laquelle le plan P aura pour équation
Z = 0 en choisissant e 3 = n = (a, b, c), voir la figure 14. Le vecteur e 3 est
donc un vecteur normal au plan P de norme euclidienne égale à 1. On choisit
ensuite e 1 et e 2 de sorte que e 1 et e 2 soient orthogonaux à e 3 et orthogonaux
entre eux. On peut choisir par exemple
puis
( ac )
be
.
-a 2 - b 2
Par construction, dans le repère orthonormé direct (n; ei , e 2 , e 3 ) où n est un
point quelconque du plan P de coordonnées (xn, yo, zo) choisi pour origine, le
plan Pa pour équation Z =O.
Considérons une courbe paramétrée C, contenue dans le plan P, dont un paramétrage dans le repère canonique (O;i,j,k) est
n = cp(t 0 ) (avec t 0 E J) est un point de la courbe paramétrée C.
Soit l\!l un point de la courbe paramétrée C dont les coordonnées dans le repère
(O; i,j, k) sont (x, y, z) et dont les coordonnées dans le repère (n; e 1 , e 2 , e 3 ) sont
-+
-t
---t
(X, Y, Z), voir la figure 14. On a OM = on + nM, c'est-à-dire
-t
X i +y j + z k = on + X e 1 + y e 2 + z e 3 .
Dans la base canonique (i,j, k) , cette égalité s'écrit
(Ga) Notons que le plan P reste inchangé si on multiplie tous les coefficients de son équation
cartésienne par un nombre réel non nul. Ainsi lorsque a2 +b2 +c 2 # 1 on peut diviser tous
ses coefficients par cette quantité et lorsque c � 0 on peut multiplier tous les coefficients
par -1. La condition imposée ici n'est donc nullement restrictive.
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Représentation paramétrique d'une courbe plane dans un système de coordonnées adapté
Une courbe dans l'espace, même plane, n'est pas toujours simple à visualiser
sans logiciel de visualisation graphique (considérer l'exemple précédent où la
spirale est projetée sur le plan d'équation x +y+ z = 1). En pratique, étant
donné une courbe paramétrée plane, il peut être intéressant d'en obtenir une
représentation paramétrique dans un système de coordonnées adapté au plan
contenant la courbe. La méthode pour obtenir une telle représentation paramétrique consiste dans un premier temps à déterminer une base orthogonale
de JR 3 dans laquelle le plan P a pour équation Z = O. On procède pour cela de
la manière suivante.
Considérons un plan P d'équation ax + by + cz = d dans le repère canonique
(O; i,j, k) de JR 3 avec
ces) (a, b, c, d) E JR4, a 2 + b 2 + c 2 = 1 et c;? O. On construit
une base orthogonale { e 1 , e 2 , e 3 } dans laquelle le plan P aura pour équation
Z = 0 en choisissant e 3 = n = (a, b, c), voir la figure 14. Le vecteur e 3 est
donc un vecteur normal au plan P de norme euclidienne égale à 1. On choisit
ensuite e 1 et e 2 de sorte que e 1 et e 2 soient orthogonaux à e 3 et orthogonaux
entre eux. On peut choisir par exemple
puis
( ac )
be
.
-a 2 - b 2
Par construction, dans le repère orthonormé direct (n; ei , e 2 , e 3 ) où n est un
point quelconque du plan P de coordonnées (xn, yo, zo) choisi pour origine, le
plan Pa pour équation Z =O.
Considérons une courbe paramétrée C, contenue dans le plan P, dont un paramétrage dans le repère canonique (O;i,j,k) est
n = cp(t 0 ) (avec t 0 E J) est un point de la courbe paramétrée C.
Soit l\!l un point de la courbe paramétrée C dont les coordonnées dans le repère
(O; i,j, k) sont (x, y, z) et dont les coordonnées dans le repère (n; e 1 , e 2 , e 3 ) sont
-+
-t
---t
(X, Y, Z), voir la figure 14. On a OM = on + nM, c'est-à-dire
-t
X i +y j + z k = on + X e 1 + y e 2 + z e 3 .
Dans la base canonique (i,j, k) , cette égalité s'écrit
(Ga) Notons que le plan P reste inchangé si on multiplie tous les coefficients de son équation
cartésienne par un nombre réel non nul. Ainsi lorsque a2 +b2 +c 2 # 1 on peut diviser tous
ses coefficients par cette quantité et lorsque c � 0 on peut multiplier tous les coefficients
par -1. La condition imposée ici n'est donc nullement restrictive.