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Étude des arcs paramétrés
2. Intéressons-nous à présent à la projection de cette même spirale sur le plan P
d'équation x+y+z = 1. Un vecteur normal au plan P est le vecteur n = (1, 1 , 1).
Désignons par 'ljJ : t E R f-+ ('l/; 1 (t),'l/;2(t), 'l/J 3 (t) ) E R 3 un paramétrage du
projeté de la spirale sur le plan P. Pour tout t E R, le projeté du point
M = cp(t) = (cos(t), sin(t), t) est le point P = 'l/;(t) de P tel que le vec-t
teur lY I P est colinéaire à n. Déterminer ce point revient à trouver À E R
et ('l/J 1 (t), 'l/J2(t), 'l/J 3 (t)) E R 3 tels que
{ 'l/J 1 (t) = cos(t) + À
'l/J2(t) = sin(t) + À
'l/J 3 (t) = t + À
On obtient À = �(1 - cos(t) - sin(t) - t), ce qui donne pour paramétrage du
projeté de la spirale sur le plan d'équation x +y+ z = 1 :
1 (1 + 2 cos(t) - sin(t) - t)
'ljJ: t ER 1--- -4 - 1-cos(t) + 2sin(t) - t
3 1 - cos(t) - sin(t) + 2t
E R 3 .
On peut représenter graphiquement la spirale et son projeté dans le plan P
avec MAPLE.
> des1 : =spacecurve ([cos (t) ,sin (t) ,t] ,t=O .. 3*Pi) :
> des2 : =spacecurve ([cos (t) ,sin (t) ,0] ,t=O .. 3*Pi) :
> des3 : =plot3d(1-x-y ,x=-4 .. 1,y=-4 .. 1 ,transparency=0 . 5) :
> des4 : =spacecurve ([(1+2*cos (t) -sin(t) -t) /3, ( 1-cos (t)+2*sin (t) -t)/3,
(1-cos (t) -sin(t)+2*t ) /3] ,t=O .. 3*Pi) :
> display3d ({des1,des2 , des3 ,des4}) ;