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Fig. 13 Projection d'un point sur un plan.
On obtient le projeté de la courbe paramétrée C sur le plan P en projetant
chacun de ses points. Si cp : t E I � ( cp 1 ( t),
paramétrée C sur le plan P est la courbe para. métrée dont un para. métrage est
{ 'l/J1 (t) =
.(t)
où
'l/J2(t) = t.p2(t) + b.\(t)
'l/J 3 (t) = cp 3 (t) + c>.(t)
avec .\(t) = d- ( acp 1 (t) + bcp 1 (t) + ccp 1 (t)) .
On notera que ces relations indiquent que le projeté d'une courbe paramétrée de
classe C k sur un plan est une courbe paramétrée plane de classe C k . En pratique,
plutôt que de retenir ces formules, il est préférable de refaire le raisonnement
ayant permis de les établir dans chaque cas particulier rencontré.
Exemples
1. Déterminons le projeté orthogonal dans le plan d'équation z = 0 de la spirale
dont une représentation paramétrique est
cp: t E lR 1-7 ( cos(t), sin(t), t) E JR 3 .
Un vecteur normal au plan d'équation z = 0 est le vecteur n = (0, 0, 1). On a
donc c = 1, a= b = d =O. On en déduit que le projeté orthogonal de la spirale
sur le plan d'équation z = 0 est la courbe paramétrée dont une représentation
paramétrique est
'l/J: t E lR t---7 ( cos(t), sin(t), 0) E !R 3 .
Il s'agit d'un cercle centré en (0, 0, O) et de rayon 1.